Ejercicios de geometría

Demostrar que a lo largo de una curva plana de la forma:

\( X = X_1(u)·e_1 + X_2(u)·e_2 \)

La curvatura viene dada por:

\(\displaystyle K = \frac{|X'_1·X"_2 - X'_2·X"_1 |}{\left[(X'_1)^2 + (X'_2)^2\right]^{3/2} } \)

Respuesta al ejercicio 3

Sabemos que la expesión general de la curvatura es:

\( \displaystyle K = \frac{|X' \wedge X"|}{|X'|^3} \)

Tenemos entonces de la ecueción del enunciado:

\(X' = X_1'(u)·e_1 + X_2'(u)·e_2\quad ; \quad X" = X_1^"(u)·e_1 + X_2^"(u)·e_2 \)

Y a partir de ahí:

\(\begin{array}{l} X' \wedge X" = \left| \begin{array}{ccc} e_1 & e_2 & e_3 \\ X'_1 & X'_2 & 0 \\ X_1^" & X_2^"& 0 \\ \end{array} \right| = (X'_1·X_2^" - X'_2·X_1^" )e_3 \\ \\ |X'|^2 = (X'_1)^2 + (X'_2)^2 \end{array}\)

Con lo que sustiyendo estos valores en la expesión que nos da K obtenemos el resultado buscado.