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GEOMETRIA DIFERENCIAL ~ TEORÍA DE CURVAS

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ejercicios resueltos

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Enunciado 41

Calcular la curvatura y la torsión de la curva:
    \( \displaystyle x = u \; ; \; y = \frac{1+u}{u} \; ; \; z = \frac{1-u^2}{u} \)
Una vez calculadas la curvatura (K) y la torsión (T), interpretar el resultado.
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Enunciado 42

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva:

    \( X = (1 +t)e_1 - t^2e_2 + (1 +t^3)e_3 \)
En el punto t = 1
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Enunciado 43

Hallar las intersecciones del plano X1X2 con las rectas tangentes a la hélice:

    \( X = (\cos t)e_1 - (\sin t)e_2 + t\cdot e_3\)
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Enunciado 44

Sea la ecuación de un elipsoide, dada en la forma:

    \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}+ \frac{z^2}{c^2} = 1 \)
Determinar en que punto de su superficie forma ángulos iguales con los ejes coordenados la normal
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Enunciado 45

Por el punto (3, 4, 12) de la esfera que tiene por ecuación:

    \( x^2 + y^2 + z^2 = 13^2\)
Pasan planos perpendiculares a los ejes OX y OY.

Escribir la ecuación del plano al que pertenecen las tangentes a las secciones que originan aquellos, en dicho punto común.
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Enunciado 46

Demostrar que la ecuación del plano tangente en el punto \(P_0 (x_0,y_0,z_0) \) a la superficie de segundo orden:

    \( f(x,y,z) = ax^2 + by^2 + cz^2 = K \)
Tiene la forma:

    \( ax_o\cdot x + by_o\cdot y + cz_o\cdot z = K \)
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Enunciado 47

Dada la superficie:

    \( x^2 + 2\cdot y^2 + 3\cdot z^2 = 21 \)
Determinar las ecuaciones de los planos tangentes a ella y que sean paralelos al plano:

    \( x + 4·y + 6·z =0\)
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Enunciado 48

Demostrar que todos los planos tangentes a la superficie:

    \( \displaystyle z = x\cdot f\left(\frac{y}{x}\right) \)
En un punto \( P_o(x_o, y_o, z_o) \; con \; x_o\neq 0\) pasan por el origen de coordenadas.
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Enunciado 49

Escribir la ecuación del plano tangente y la normal a la siguiente superficie

    \( z = x^2 + y ^2\)
Considerando el punto P = (1, -2, 5)
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Enunciado 50

Escribir la ecuación del plano tangente y la normal a la superficie

    \( \displaystyle 0 = \frac{x^2}{16}+ \frac{y^2}{9}- \frac{z^2}{8}\)
En el punto P = (4, 3, 4)
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PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL

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tema escrito por: José Antonio Hervás