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GEOMETRIA DIFERENCIAL ~ TEORÍA DE CURVAS

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ejercicios resueltos

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Enunciado 21

Calcular las ecuaciones de las rectas tangente, normal principal y binormal de la curva sigiente:

    \( X_1 = 2·t^2 - 1 \quad ; \quad X_2 = 1 - t \quad ; \quad X_3 = t^2\)
En el punto (1, 0, 1) , es decir, para t = 1
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Enunciado 22

Encontrar la normal principal y el plano osculador de la curva:
    \(X = \cos t·e_1 + \sin t·e_2 + t·e_3\)
En el punto \(\pi/2\).
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Enunciado 23

Calcular la curvatura y la torsión en cualquier punto de la curva:
    \(X = (3t - t^3)·e_1 + 3t^2·e_2 + (3t - t^3)·e_3\)
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Enunciado 24

Dada la curva:
    \( X_1 = a·\cos \theta \quad ;\quad X_2 = a·\sin \theta \quad ;\quad -\pi\leq \theta \leq \pi \)
Introducir el nuevo parámetro \( t = \tan (\theta/4)\)
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Enunciado 25

Demostrar que la representación:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} X_1 = \frac{1}{2}\left(s + \sqrt{s^2 + 1}\right) \quad ; \quad X_2 = \frac{1}{2}\left(s + \sqrt{s^2 + 1}\right)^{-1} \\ \\ X_3 = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(s + \sqrt{s^2 + 1}\right) \end{array}\)
Es una representación natural
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Enunciado 26

Demostrar que en cualquier punto de una curva regular X = X(s), de clase mayor o igual que 4, se verifica:
    \( \displaystyle [\ddot{X}, \mathop {X}\limits^{···}, \mathop {X}\limits^{····} ] = K^5 \frac{d}{ds}\left(\frac{\tau}{K}\right) \)
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Enunciado 27

Calcular la normal principal y la binormal y expresar el triedro móvil en cada uno de los puntos de la curva:

    \(X = (3t - t^3) e_1 + 3t^2·e_2 + (3t-t^3)·e_3 \)
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Enunciado 28

Dada la superficie:
    \( X = u\cdot e_1 + v·e_2 + (u^2 - v^2)·e_3 \)
Se trata de encontrar el plano tangente y la recta normal para u = 1 y v = 1.
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Enunciado 29

Calcular los primeros coeficientes fundamentales y la primera forma fundmental de la superficie:
    \( X = (u+v)e_1 + (u-v)e_2 + uv·e_3\)
Y ver que ocurre para los parámetros \(\varphi = u+v \quad ; \quad \psi = u-v\)
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Enunciado 30

Calcular la longitud del arco:
    \(u = e^{\frac{\varphi·\cot \beta}{\sqrt{2}}} \quad ; \quad \varphi = \varphi \quad ; \quad 0\leq \varphi \leq \pi \quad ; \quad \beta = cte \)
Que se encuentra sobre el cono:
    \(X = (u·\cos \varphi)· e_1 + (u·\sin \varphi)·e_2 + u·e_3 \)
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PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
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tema escrito por: José Antonio Hervás