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GEOMETRIA DIFERENCIAL ~ TEORÍA DE CURVAS

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ejercicios resueltos

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Enunciado 11

demostrar que:
    \(Z = 3·t^5 +10·t^3 + 15·t + 1 \)
Es un cambio admisible de parámetros, \(\forall \; t\)
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Enunciado 12

Demostrar que si todas las tangentes a una curva son de clase \(\geq 2\), aquella es una curva plana.
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Enunciado 13

Hallar la curvatura y la torsión para la curva de ecuaciones paramétricas:
    \(x = u \quad ; \quad y = u^2 \quad ; \quad z = u^3 \)
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Enunciado 14

Calcular la curvatura y la torsión en cada uno de los puntos de la curva:
    \(X = (t - \sin t)e_1 +(1 - \cos t)e_2 + t·e_3 \)
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Enunciado 15

Demostrar la relación de equivalencia en el conjunto de las representaciones regulares.
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Enunciado 16

Demostrar que la representación:
    \(X_1 = 1 + \cos \theta \; ; \; X_2 = \sin \theta \; ; \; X_3 = 2·\sin \theta/2 \quad ; \; para \; -2\pi \leq \theta \leq 2\pi \)
Es regular y está sobre la esfera de radio 2 y centro origen, y sobre el cilindro:
    \( (X_1 - 1)^2 + X_2^2 = 1 \)
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Enunciado 17

Demostrar que la curva:
    \( X_1 = t^2 \quad ; \quad X_2 = \sin t \quad ; \quad con \; 0 \leq t \leq \pi/2 \)
Es rectificable.
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Enunciado 18

Estudiar la gráfica de la ecuación dada en polares:
    \( r = 2·\cos \theta - 1 \quad ; \quad 0\leq \theta \leq 2·\pi \)
Dar su representación paramétrica regular y estudiar la orientación para los cambios de parámetrico:
    \( 1º) \; \theta = t+ 1 \; ; \; 2º)\; \theta = -t \; ; \quad 3º)\; \theta =\left\{
    \begin{array}{ll}
    t & si\; 0\leq t \leq \pi/3 \\
    -t+2 & si \; \pi/3 \leq t \leq 5\pi/3 \\
    t & si \; 5\pi/3 \leq t \leq 2\pi \\
    \end{array}
    \right.
    \)
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Enunciado 19

Demostrar que las ecuaciones:
    \( \begin{array}{l}
    X = t·e_1+ \sin t·e_2 + e^t·e_3 \quad para\quad -\infty \leq t \leq \infty \\
    \\
    X^* = \ln \theta e_1 + \sin(\ln \theta)·e_2 + \theta·e_3 \quad para\quad -\infty \leq \theta \leq \infty
    \end{array}\)
Representan la misma curva orientada.
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Enunciado 20

Calcular la curvatura de la circunferencia de radio a > 0 dada por las ecuaciones:

    \( X_1 = a·\cos t \quad ;\quad X_2 = a·\sin t \)
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PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
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tema escrito por: José Antonio Hervás