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GEOMETRIA DIFERENCIAL ~ TEORÍA DE CURVAS

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ejercicios resueltos

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Enunciado 1

Demostrar que los vectores tangentes a lo largo de la curva:
    \( X = at·e_1 +bt^2·e_2 + t^3·e_3 \qquad \textrm{ siendo } \quad 2b^2 = 3a \)
forman un ángulo constante con el vector \( a = e_1 + e_3\)
Enunciado 2

Demostrar que una curva de clase \( \geq 2\) es una recta si \( X'(t) \; y \; \;X"(t)\) son linealmente dependientes \( \forall \; t\).
Enunciado 3

Demostrar que a lo largo de una curva plana de la forma:
    \( X = X_1(u)·e_1 + X_2(u)·e_2 \)
La curvatura viene dada por:
    \(\displaystyle K = \frac{|X'_1·X"_2 - X'_2·X"_1 |}{\left[(X'_1)^2 + (X'_2)^2\right]^{3/2} } \)
Enunciado 4

Introducir la longitud del arco como parámetro a lo largo de la curva:
    \(X = (e^t·\cos t)e_1 + (e^t·\sin t)e_2 + e^t·e_3\quad ; \quad -\infty \leq t < \infty \)
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Enunciado 5

Hallar la normal y binormal a lo largo de la curva dada por la ecuación:
    \( X = (3u - u^3)e_1 + 3u^2·e_2 + (3u+u^3)e_3 \)
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Enunciado 6

Demostrar que en toda extensión de la curva \(X= X(u)\), el vector X" es paralelo al plano osculador y que sus componentes respecto de \(\vec{t}\; y \; \vec{n}\) son:
    \( \displaystyle \frac{d|X'|}{du} \qquad ; \qquad K|X'|^2 \)
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Enunciado 7

Si \(X'\; y \; X"\) son linealmente independientes en un punto X(u) para toda la extensión de una curva X = X(u) ; demostrar que el plano osculador en el punto X(u) es: \([y-x , X' , X"]\). Para ello aplicar la fórmula\(X = u·e_1 + u^2·e_2 + u^3·e_3 \quad en \; u = 1\)
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Enunciado 8

Demostrar que los puntos de la hélice:
    \(X = a·\cos t·e_1 + a·\sin t·e_2 + b·t·e_3 \)
Cuyos planos osculadores pasan por un punto fijo, están en un plano.
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Enunciado 9

Demostrar que si todos los planos osculadores de una curva tienen un punto de intersección común, la curva es plana.
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Enunciado 10

Si X = X(S) es una curva cualquira, el conjunto de los vectores tangentes, \(\vec{t}(S)\), a lo largo de la curva describen una curva sobre la esfera unidad. A dicha curva la llamamos indicatriz esférica de la tangente. De forma análoga se definen la indicatriz esférica de la normal y la binormal.

Entre las distintas representaciones que podemos escoger para la indicatriz tenemos \(X_1 = t(S)\). Encontrar segun lo expuesto que se verifica:

    \( \displaystyle K_1^2 = \frac{K^2 + \tau^2}{K^2} \)
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PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
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tema escrito por: José Antonio Hervás