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Ejercicios de álgebra - enunciado 31

Sea el espacio vectorial R3 y los vectores:
    \( a = (1, 1, 1)\quad; \quad b = (1, 0, -1) \quad ; \quad c = (1, -1, 0) \)
Probar que forman una base de R3 y hallar su base dual.
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Ejercicios de álgebra- enunciado 32

Demostrar que las formas lineales definidas por :
    \( \begin{array}{l}
    f_1 : R^3 \Rightarrow R :- f_1(x,y,z) = x+2y+z \\
    \\
    f_2 : R^3 \Rightarrow R :- f_2(x,y,z) = 2x+3y+3z \\
    \\
    f_3 : R^3 \Rightarrow R :- f_3(x,y,z) = 3x+7y+z
    \end{array}\)
forman una base del espacio vectorial \((R^3)^*\). Encontrar la base dual de ella.
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Ejercicios de álgebra - enunciado 33

Sea V el espacio vectorial de los polinomios de grado \(\leq 2\). Sean \(a,b,c \in K\) escalares diferentes, y sean \(\phi_a,\phi_b,\phi_c \) las formas lineales definidas por:
    \( \phi_a[f(t)] = f(a)\quad ; \quad \phi_b[f(t)] = f(b)\quad ; \quad \phi_c[f(t)] = f(c) \)
Demostrar que \(\{\phi_a,\phi_b,\phi_c\} \) es un sistema libre y hallar su base dual.
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Ejercicios de álgebra - enunciado 34

Sea C el conjunto C de los complejos considerado como espacio vectorial de dimensión 2 sobre R. Demostrar que las aplicaciones siguientes de \(C_R \;en\; C_R \) son lineales y dad sus matrices respecto de la base \(\{1, i\} \)
    \( \begin{array}{l}
    R: z \rightarrow R(z) = \Re (z) \\
     \\
    R: z \rightarrow I(z) = \Im (z) \\
     \\
    R: C \rightarrow C(z) = \bar{z} \\
     \\
    \varphi: z \rightarrow \varphi(z) = u·z \; (z = a+b\imath
    \end{array} \)
siendo, para la ultima aplicación u fijo y b distinto de 0 .
Decir cuales de las anteriores apliciones son también aplicaciones lineales de \(C_R \;en\; C_R \) cuando C es considerado como espacio vectorial sobre si mismo.
Encontrar la base dual de \(\{1, i\}\) y demostrar que el conjunto \(U = \{z \in C/R(u,z) = 0\} \) es un subespacio del espacio CR ¿cual es su ortogonal?.
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Ejercicios de álgebra - enunciado 35

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita. Un hiperplano H de V se define como núcleo de cierta forma lineal no nula.Demostrar que todo subespacio de V es la intersección de un número infinito de hiperplanos.
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Ejercicios de álgebra - enunciado 36

Supongamos que un espacio vectorial V, de dimensión finita, es suma directa de dos subespacios U y W. Demostrar que se cumple:
    \( V^* = U^\circ \oplus W^\circ \)
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Ejercicios de álgebra - enunciado 37

Sea E un espacio vectorial de dimensión infinita, probar que se tiene:
    \( Dim \; E < Dim \; E^* \)
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Ejercicios de álgebra - enunciado 38

Sea E un espacio vectorial de dimensión infinita, probar que el morfismo canonico definido por:
    \( V^* = U^\circ \oplus W^\circ \left. \begin{array}{l} j: E \rightarrow E^{**} \\ \\ x \rightarrow \bar{x} \\ \end{array} \right\}\quad \bar{x}(f) = f(x) \; ; \; \forall f \in E^*\)
No es nunca proyecivo.
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Ejercicios de álgebra - enunciado 39

Hallar la transformación ortogonal que diagonaliza la forma:
    \(\phi (x) = 2·x^2 - 6·xy + 10·y^2\)
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Ejercicios de álgebra - enunciado 40

Obtener la transformación ortogonal que diagonaliza la forma:
    \(\phi (x) = x^2 + 8·xy - 5·y^2\)
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EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL Y MATRICIAL

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tema escrito por: José Antonio Hervás