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ALGEBRA SUPERIOR FORMAS BILINEALES

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ejercicios resueltos

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Ejercicios de álgebra - enunciado 21

Hallar la transformación ortogonal que diagonaliza la forma:
    \(\phi(x) = 2·x^2 - 6·xy + 10·y^2\)
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Ejercicios de álgebra- enunciado 22

Hallar la transformación ortogonal que diagonaliza la forma:
    \(\phi(x) = x^2 + 8·xy + 5·y^2\)
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Ejercicios de álgebra - enunciado 23

Hallar la transformación ortogonal que diagonaliza la forma:
    \(\phi(x) = 2·xy + 2·xz + 2·yz\)
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Ejercicios de álgebra - enunciado 24

Reducir en el grupo unitario la siguiente forma hermítica sobre C3:
    \( \phi(v) = x_1\bar{x}_1 + x_2\bar{x}_2 - i·x_1\bar{x}_2 + i·x_2\bar{x}_1 \)
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Ejercicios de álgebra - enunciado 25

Reducir en el grupo unitario la siguiente forma hermítica sobre C3:
    \( \phi(v) = - x_1\bar{x}_1 + 3i·x_1\bar{x}_3 + x_2\bar{x}_2 + 3i·x_3\bar{x}_1 - x_3\bar{x}_3 \)
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Ejercicios de álgebra - enunciado 26

Demostrar que un operador "u" es normal \((u^*·u = u·u^*)\) si y solo si para todo \(\alpha \in C\) el endomorfimo \((u - \alpha I) \) es normal.

Demostrar también las cuestiones de los siguientes dos enunciados:

Si u es normal, entonces \(ker \; u = Ker \; u^* \)

Si u es normal y \(\lambda\) un valor propio de u, entonces \(\overline{\lambda}\) es un valor propio de \(u^*\) y el subespacio propio de \(V (\lambda)\) es igual al subespacio \(V^* (\overline{\lambda})\)

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Ejercicios de álgebra - enunciado 27

Continuando con las cuestiones del ejercicio anterior, demostrar también que:

Si u es un operador normal y \(\lambda \; y \; \lambda'\) dos valores propios distintos, de u, entonces los subespacios propios \(V(\lambda) \; y \; V(\lambda')\) son ortogonales.

Si u es un operador normal y \(V(\lambda) \) es un subespacio propio de u, entonces \(V(\lambda)\) es invariante por \( u^* \; y \; [V(\lambda)]^o \) es invariante por u*

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Ejercicios de álgebra - enunciado 28

Sea V un espacio vectorial hermítico de dimensión finita n. Si T es un operador sobre V, demostrar que se tiene:
    \(\textrm{ Im } T^* = (Ker \; T)^o\)
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Ejercicios de álgebra - enunciado 29

Sea E un espacio vectorial hermítico de dimensión finita, y sea u un endomorfismo unitario de E. Tomamos v = e-u (donde e es el endomorfismo identidad). Demostrar que la imagen y el núcleo de v son subespacios vectoriales ortogonales.
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Ejercicios de álgebra - enunciado 30

Se dice que una matriz hermitiana de orden n es positiva , si en un espacio vectorial de dimensión n sobre C está asociado a una forma hermitiana positiva.

Si A es una matriz cuadrada compleja, demostrar que \(A^*·A\) es hermitiana positiva. ¿Que se puede decir de los valores propios de \(A^*·A\)?

Reciprocamente, demostrar que H es una matriz hermitiana positiva si existe una matriz compleja A tal que \(H = A^*·A\)

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EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL Y MATRICIAL

grupo primero ~ : ~ grupo segundo ~ : ~ grupo tercero

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tema escrito por: José Antonio Hervás