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ALGEBRA SUPERIOR FORMAS BILINEALES

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Ejercicios de álgebra - enunciado 11

Sea V el espacio vecrial de las matrices cuadradas de orden n sobre R. Demostrar que la aplicación:
    \( \varphi(A,B) = traza\;B^tA\)
es un producto escalar
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Ejercicios de álgebra- enunciado 12

Probar que el conjunto:
    \( \displaystyle\left\{\left( \begin{array}{cc}
    1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)\;\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)\;\left(
    \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)\;\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\
    \end{array} \right) \right\}\)
Constituye una base ortotmal de M2 (K). Hallar una base para el complemento ortogonal de los subespacios V2 = {matrices diagonales} ; V2 = {matrices simétricas}
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Ejercicios de álgebra - enunciado 13

Encontrar la proyección ortogonal de (1,2,3) sobre \([(1,0,1)]\subset R^3\) y la de (0,0,0,5) sobre \([(1,1,0,0), (0,2,3,0),(0,0,4,1)]\subset R^4\)
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Ejercicios de álgebra - enunciado 14

Encontrar una matriz ortogonal cuya primera fila sea {1/3, 2/3, 1/3}.
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Ejercicios de álgebra - enunciado 15

Sea E un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo K y f una forma bilineal simetrica cuya forma asociada es definida positiva.

Sea F un subespacio de E. Demostrar que existe un automorfismo SF de E, ortogonal a respecto de f y tal que se vefifique:

    \(\begin{array}{l} S_F(x) = x \;, \; si \; x \in F \\ \\ S_F(x) = -x \;, \; si \; x \in F^o \end{array}\)
Demostrar \(S_F·S_F = I·S_F\) recibe el nombre de simetría respecto de F.
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Ejercicios de álgebra - enunciado 16


Sea E un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo K y f una forma bilineal simetrica cuya forma asociada es definida positiva.

Sea H un hiperplano de E y \(a\) un un vector no nulo de E, ortogonal a H. Demostrar que \(\forall \; x\in E\) se cumple :

    \(S_H(x) = x - 2·a·f(x,a)[f(a,a)]^{-1} \)
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Ejercicios de álgebra - enunciado 17

Supongamos que el conjunto de vectores \(\{u_1,\cdots , u_r\}\) es una base ortonormal de \( W\subset V\) siendo dim V = n . Sea \( E : V \rightarrow V\) la aplicación lineal definida por:
    \(E(v) = (v·u_1)u_1 + \cdots + (v·u_r)u_r\)

Demostrar que E es una proyección ortogonal de V sobre W.

Sea \(\{u_1,\cdots , u_r\}\) un subconjunto V, demostrar que \(\forall \; v \in V \) se verifica la desigualdad:

    \(\displaystyle \sum_i^r |v·u_i|^2 \leq ||v||^2\)
Llamada desigualdad de Bessel.
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Ejercicios de álgebra - enunciado 18

Recordamos que en espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n se define el producto escalar en la forma:
    \(\displaystyle f·g = \int_0^1 f(t)·g(t)·dt\)
Considérese el espacio vectorial de los polinomios de segundo grado y hállese una base de Wo , siendo W = [(2t+1)]
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Ejercicios de álgebra - enunciado 19

Demostrar que toda matriz cuadrada A, sobre C, puede escribirse en la forma :
    \(A = H_1 + i·H_2\)
Donde H1 y H2 son matrices hermitianas.
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Ejercicios de álgebra - enunciado 20

Sea M (C) el conjunto de las matrices de orden n sobre el cuerpo de los complejos. Demostrar que la apliación defida por:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} f : M_n(C) \times M_n(C) \rightarrow C \\ \\ f(A,B) = \frac{1}{n}·traza(A·B^*) \end{array}\)

Es una forma hertiana hermitiana.

Demostrar también que su forma hermíca asociada es definida positiva.

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EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL Y MATRICIAL

grupo primero ~ : ~ grupo segundo ~ : ~ grupo tercero

grupo cuarto ~ : ~ grupo quinto ~ : ~ grupo sexto
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tema escrito por: José Antonio Hervás