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ALGEBRA SUPERIOR FORMAS BILINEALES

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Ejercicios de álgebra - enunciado 1

Sea f la forma bilineal simétrica asociada a la forma cuadrática real:
    \(\phi(v) = a·x^2 + b·xy + c·y^2 \qquad ; \qquad a,b,c \in R \)
Demostrar:
    1º) f es degenerada \(\Leftrightarrow b^2 - 4·ac \neq 0\)

    2º) f definida positiva \(\Leftrightarrow a > 0 \quad b^2 - 4·ac < 0\)
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Ejercicios de álgebra- enunciado 2

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo K, y f una forma bilineal simétrica sobre E. Sea, por otro lado,u, una aplicación de E en si y supongamos que la forma cuadrática \(\phi\) asiciada a f sea definida y se verica:
    \(\forall (x,y) \in E\times E \quad ; \quad f[u(x), u(y)] = f(x,y)\)
    1º) Demostrar que u es un endomorfismo de E.

    2º) Demostrar que es inyectivo.
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Ejercicios de álgebra - enunciado 3

Sea E un espacio vectorial sobre R. Se designa por Q el conjunto de las formas cuadráticas sobre E y por \(\mathfrak{R}\) la relación en Q que dice:
    \( \varphi \mathfrak{R} \psi \Rightarrow \exists \) un automorfismo u de E tal que \(\forall x \in E \quad \varphi[u(x)] = \psi(x)\)

Demostrar \(\mathfrak{R}\) es un relación de equivalencia.

Demostrar que siendo f y g las formas polares de \(\varphi\; y \; \psi\), entonces la primera parte es equivalente a decir:

    \( \forall x,y \in E \quad ; \quad f[u(x), u(y)] = g(x,y)\)
Si E es de dimensión n, demostrar que \(\varphi \) esta relacionado con \(\psi\) si y solo si tienen la misma signatura.
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Ejercicios de álgebra - enunciado 4

Sea U y W dos espacios vectoriales de dimensión cualquiera. Probar que se cumple:
    \((U + W)^\circ = U^\circ\cap W^\circ\)
Una vez demostrado probar que también se verifica:
    \((U \cap W)^\circ = U^\circ + W^\circ\)
Pero solo en el caso de que U y W sean de dimensión finita.
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Ejercicios de álgebra - enunciado 5

Demostrar que si dos vectores de un espacio euclídeo tienen igual norma, entonces su suma es ortogonal a su diferencia.
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Ejercicios de álgebra - enunciado 6

Si u y v\(\neq 0\) son dos vectores de un espacio vectorial euclídeo, encontrar un valor de \(\lambda\) tal que \( u + \lambda v \) sea mínimo en norma. Probar entonces que el vector así determinado es ortogonal a v.
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Ejercicios de álgebra - enunciado 7

Demostrar que en un espacio euclídeo se verica en general:
    1º) \(||u+v||^2 + ||u-v||^2 = 2(||u||^2 +||v||^2 ) \)

    2º) \( ||u||-||v|| \leq ||u-v|| \)
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Ejercicios de álgebra - enunciado 8

Sean \(u = (x_1,x_2)\:,\: v = (y_1,y_2) \in R^2\) estudiar las siguientes formas y ver cuales de ellas son productos escalares :
    \(\begin{array}{l}
    1º) f(u,v) = x_1y_1 - 2x_1y_2 - 2x_2y_1 + 5x_2y_2 \\
    \\
    1º) f(u,v) = x_1y_1 - 3x_1y_2 - 3x_2y_1 + k·x_2y_2 \\
    \\
    1º) f(u,v) = a·x_1y_1 + b·x_1y_2 + c·x_2y_1 + d·x_2y_2
    \end{array} \)
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Ejercicios de álgebra - enunciado 9

Sea V el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3, sobre R. Consideremos la forma bilineal:
    \(\displaystyle\varphi(P,Q) = \int_0^1 P(t)·Q(t)·dt \)

a) Demostrar que \(\varphi\) es simétrica y que \(\phi\) (forma cuadrática asociada) es definida positiva.

b) Encontrar el subespacio ortogonal a los vectores \(\{1-t , t^2+3t\}\)

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Ejercicios de álgebra - enunciado 10

Considerando el ejercicio anterior, aplicar el procedimiento de Smidt pare obtener una base ortogonal a partir de la base \(\{1, t , t^2 , t^3\}\).
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EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL Y MATRICIAL

grupo primero ~ : ~ grupo segundo ~ : ~ grupo tercero

grupo cuarto ~ : ~ grupo quinto ~ : ~ grupo sexto
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tema escrito por: José Antonio Hervás