Ejercicios de álgebra

Hallar todas las posibles formas canónicas de Jordán para una matriz que tiene como polinomio característico :

\( P(t)=(t-2)^3(t-5)^2 \)

Respuesta al ejercicio 48

Para determinar la forma reducida de Jordán es necesario encontrar el polinomio mínimo y este no podemos determinarlo por no tener la matriz del endomorfismo. De todas formas los posibles polinomios mínimos son :

\( \begin{array}{l}
m_1(t) = (t-2)(t-5) \\
 \\
m_2(t) = (t-2)^2(t-5) \\
 \\
m_3(t) = (t-2)^3(t-5) \\
 \\
m_4(t) = (t-2)(t-5)^2 \\
 \\
m_5(t) = (t-2)^2(t-5)^2 \\
 \\
m_6(t) = (t-2)^3(t-5)^2
\end{array} \)

Sí el polinomio mínimo fuera :

\( m_1(t) = (t-2)(t-5)\)

Si tendría :

\( \begin{array}{l}
\lambda_1 = 2 \; ;\; k_1 = 3 \;;\; \beta_1 = 1\Rightarrow n_{11}= 1\geq n_{12}=1\geq n_{13}= 1 \\
 \\
\lambda_2 = 5 \; ;\; k_2 = 2 \;;\; \beta_2 = 1\Rightarrow n_{21}= 1\geq n_{22}=1
\end{array} \)

Y la matriz del endomorfismo en la forma reducida de Jordán será :

\( \left(
\begin{array}{ccccc}
2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 5 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\
\end{array}
\right) \)

Siempre que el polinomio mínimo sea lineal, es decir de la forma :

\( (t-\lambda_1)(t-\lambda_2)...(t-\lambda_n) \)

La expresión reducida de Jordán es una matriz diagonal.