PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
espacios vectoriales, formas bilineales, matrices hermitianas

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Problemas de Álgebra superior

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 40
La matriz asociada a la forma lineal es :
    \(\displaystyle \Omega = \left(
    \begin{array}{cc}
    1& 4 \\
    4& -5 \\
    \end{array}
    \right) \)

Para obtener la transformación ortogonal que diagonaliza dicha forma, calculamos los valores propios de la matriz \(\Omega\) .

    \( |\Omega - \lambda I|= 0 \Rightarrow \lambda^2 + 4·\lambda - 21 = 0 \left\{
    \begin{array}{l}
    \lambda_1 = 3 \\
    \\
    \lambda_2 = -7 \\
    \end{array}
    \right. \)

Los vectores propios asociados a estos valores propios serán :
Para \(\lambda = 3\)

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \left( \begin{array}{cc} -2& 4 \\ 4& -8 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array} \right) = 0 \Rightarrow -2x + 4y = 0 \; ; \; x = 2y \\  \\ v_1 = (2,1) \; ; \; e_1 = \left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}} \right) \end{array} \)

Para \(\lambda = 7\)

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \left( \begin{array}{cc} 8& 4 \\ 4& 2 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array} \right) = 0 \Rightarrow 4x + 2y = 0 \; ; \; y = -2x \\  \\ v_2 = (1,-2) \; ; \; e_2 = \left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{-2}{\sqrt{5}} \right) \end{array} \)
Según eso, la matriz ortogonal del cambio será:
    \(\displaystyle P = \left(
    \begin{array}{cc}
    \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \\
    \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{-2}{\sqrt{5}} \\
    \end{array}
    \right) \)
y se tendr:
    \(\displaystyle P^t\Omega P = P^{-1}\Omega P = \left(
    \begin{array}{cc}
    3& 0 \\
    0 & -7 \\
    \end{array}
    \right) = \phi(x) = 3·\tilde{x}^2 - 7·\tilde{y}^2 \)
La forma estudiada no será definida positiva puesto que se tiene \(sig \; \phi = (1, 1)\).
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES
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tema escrito por: José Antonio Hervás