PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de álgebra superior. Formas bilineales

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Ejercicios de álgebra

Sea E un espacio vectorial de dimensión infinita, probar que el morfismo canonico definido por:
    \( V^* = U^\circ \oplus W^\circ \left. \begin{array}{l} j: E \rightarrow E^{**} \\ \\ x \rightarrow \bar{x} \\ \end{array} \right\}\quad \bar{x}(f) = f(x) \; ; \; \forall f \in E^*\)
No es nunca proyecivo.

Respuesta al ejercicio 38
Por el ejercicio anterior podemos decir que \(\{e_j^*, y^*\}_{j\in I}\) es un sistema libre de E^*. .. En consecuencia, existirá una base B de E* que cumplirá:
    \(\{e_j^*, y^*\}_{j\in I}\subset B \)
En estas condiciones definimos una aplicación \(y** : E \rightarrow K\) mediante
    \(\begin{array}{l} y^{**}(e_j^*) = 0 \\
    \\
    y^{**}(y^*) = 1
    \end{array} \)
Esta aplicación existirá en virtud del teorema de existencia de las aplicaciones lineales, pero no será única por no estar definida sobre todos los eLementos de la base B.
Supongamos ahora que el morfismo j es sobreyectivo, existira entonces un elemento \(\bar{y}\) que cumplirá \(\bar{y} = y^{**}\) , o lo que es igual:
    \(\bar{y} = y^{**} = j(y) \Rightarrow j(y) = j(\sum y_ie_i) = \sum_i^n y_i·j(e_i) = \sum y_i·\bar{e}_i \)
y haciendo actuar este elemento sobre los \(e_j^*\) :
    \(y^{**}(e_j^*) = (\sum y_i·\bar{e}_i)(e_j^*) = \sum y_i·e_j^*(e_i) = y_j = 0 \qquad , \quad \forall j \in I \)
Hemos llegado con esto a una contradicción puesto que habiamos definido \(y^{**}(y^*) = 1\). En consecuencia, podemos decir que el morfismo j no es sobreyectivo.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES
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tema escrito por: José Antonio Hervás