PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
espacios vectoriales, formas bilineales, matrices hermitianas

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Problemas de Álgebra superior

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 37
Supongamos que \(\{e_i\}_{i \in I}\) es una base de E. Podemos definir las formas lineales \(\{e_j^*\}_{j \in I}\) mediante:
    \(e_j^*(e_i) = \delta_{ij}\)

En general, \(\{e_j^*\}_{j \in I}\) será un conjunto de formas pero no una base. Veamos si son linealmente independientes:

    \( \sum \lambda_j·e_j^* = 0 \Rightarrow (\sum \lambda_j·e_j^*)(e_i) = 0 \Rightarrow \sum \lambda_j \delta_{ij} = 0 \Rightarrow \lambda_i = 0 (i \in I) \)

Por consiguiente, la familia \(\{e_j^*\}_{j \in I}\) es libre.

Para demostrar que no es una base de E* nos basta con encontrar una forma lineal de E* que no este generada por la famia.Sea entonces:

    \(y* \in E*\quad t.q.\quad y*(e_i) = 1\quad (i\in I) \)
Supogamos que y* es una combinación lineal de las \(e_j^*\) :
    \( y* = \sum \lambda_j·e_j^* \Rightarrow y*(e_i) = (\sum \lambda_j·e_j^*)(e_i) = \lambda_i = 1\quad (i\in I) \)
pero esto es una contradicción porque los \(\lambda = 1\) están en numero infinito y en una combinación lineal los escalares no nulos han de ser en número finito. Podemos decir entonces que \(\{e_j^*\}_{j \in I}\) no genera a E* y, por consiguiente:
    \( Dim \;E^* > Dim \; E \)
Como queriamos demostrar.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES


tema escrito por: José Antonio Hervás