PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
espacios vectoriales, formas bilineales, matrices hermitianas

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Problemas de Álgebra superior

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 36
Supongamos que dim V = n y dim U = r. Se tiene entonces dim W = n-r.
Consideremos una base de U y un a base de W\( \{e_1 , ... , e_r\} \; y \; \{e_{r+1}, ... , e_n\}\) respectivamente.Segun eso ,una base de V será de la forma \( \{e_1 , ... , e_r, e_{r+1}, ... , e_n\}\) y su base dual
\( \{e_1^* , ... , e_r^*, e_{r+1}^*, ... , e_n^*\}\).

Según eso, cualquier \( x^* \in V^*\) se podra poner en la forma:
    \(x^* = \sum \lambda_j·e_j^*\) donde los \( \lambda_j\) están determinados para cada x.

Podemos considerar ahora que x* se puede poner por definición,como:

    \(x^* = x_1^* + x_1^* \)
Donde \( x_1^* \; y \; x_1^*\) son,respectivamente :
    \(\begin{array}{l}
    x_1^* = \lambda_1·e_1^* + ... + \lambda_r·e_r^* \\
    \\
    x_2^* = \lambda_{r+1}·e_{r+1}^* + ... + \lambda_n·e_n^*
    \end{array} \)
Veamos ahora como actuan \( x_1^* \; y \; x_2^*\) sobre Lo s vectores de W y U:
    \(x_1^*(w) = 0 \) puesto que \(x_1^* \in \{e_1^* , ... , e_r^* \} \; y \; w \in \{e_{r+1}, ... , e_n\}\)
Tenemos entonces , por la clefinición de ortogonaI ,que se cumple , \(x_1^* \in W^\circ\).
De igual mode podomos poner :
    \(x_2^*(u) = 0 \Rightarrow x_2^* \in U^\circ \)
Vemos entonces que x* se puede poner como suma de un elemento de \( U^\circ\) y otro de \( W^\circ\). Para ver que esta suma es directa hacemos
    \(x^* \in U^\circ \cap W^\circ \Rightarrow (1^*) x^* \in (U+ W)^\circ \Rightarrow x^*(x) = 0 \) (puesto que x = u+w) \( \Rightarrow x^* = \{0_{E^*}\}\)
el paso (1*) esta hecho basandonos en el resultado de un problema anterior.
Hemos resueIto el problema para el caso en que V es de dimensión finita. Veamos si ocurre igual cuando V tiene cuaIquier dimensión. Tenemos :
    \(\begin{array}{l} x \in V \Rightarrow x = u + w \quad\left\{ \begin{array}{l} u \in U \\ \\ w \in W \\ \end{array} \right. \\ \\ x^*(x) = x^*(u+w) = (x_1^* + x_2^*)(u+w) = x_1^*(u) + x_2^*(w) \end{array} \)
Puesto que se cumple, según lo visto anteriormente :
    \(\left.
    \begin{array}{l}
    x^*(u) = (x_1^* + x_2^*)(u) = x_1^*(u) \\
    \\
    x_1^*(x) = x_1^*(u + u) = x_1^*(u) \\
    \end{array}
    \right\} x_1^*(x) = x^*(u) \)
y de igual modo :
    \(\left.
    \begin{array}{l}
    x^*(w) = (x_1^* + x_2^*)(w) = x_2^*(w) \\
    \\
    x_2^*(x) = x_2^*(u + u) = x_2^*(w) \\
    \end{array}
    \right\} x_2^*(x) = x^*(w) \)
Por lo tanto, tomanido \(x^* \in V^*\) podemos definir las f ormas:
    \(\begin{array}{l}
    x_1^*(x) = x^*(u) \\
    \\
    x_2^*(x) = x^*(w)
    \end{array}\qquad \textrm{siendo } x = u + w \left\{
    \begin{array}{l}
    u \in U \\
    \\
    w \in W \\
    \end{array}
    \right.
    \)
Se comprueba inmediatamente que \( x_1^* \; y \; x_2^*\) son lineales, y además se tiene:
    \( x^* (x) = x^*(u+ w) = x^*(u) + x^*(w) = x_1^*(x) + x_2^*(x) = (x_1^* + x_2^*)(x) \)
Por el mismo método que para el caso finito se demuestra también que esta descomposición es única, es decir que x* es suma directa de \( x_1^* \; y \; x_2^*\).
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES


tema escrito por: José Antonio Hervás