PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
espacios vectoriales, formas bilineales, matrices hermitianas

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Problemas de Álgebra superior

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 35
Para toda forma lineal no nula, \(\varphi\) , se cumple \( dim \; Ker \; \varphi = n-1\), donde n = dim V, siendo V el espacio vectorial en el que definimos la forma. Esto es así pues se tiene:
    \(\begin{array}{l} Dim\; V = Dim\; ker\; \varphi + Dim\; Im\; \varphi \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow Dim\; ker\; \varphi = im\; V - Dim\; Im\; \varphi = n - 1 \end{array} \)

Puesto que \( Im \; \varphi \subset K\) que tiene dimensión 1 al ser un espacio vectorial sobre él mismo.

Continuando el problema supongamos un subespacio \( S \subset V\) ,de dimensión p,y consideremos una base de él :\( \{e_1 , ... , e_p\} \) Por el teorema de la base incompleta , podemos compltar esta base a una base de V

    \(V = \{e_1 , ... , e_p, e_{p+1}, ... , e_n\} \)

Sea ahora la base dual de la anterior.

    \(V = \{e_1^* , ... , e_p^*, e_{p+1}^*, ... , e_n^*\} \)
Podemos hacer:
    \(e_j^*(x) = e_j^*(\sum x_ie_i) = \sum x_i·e_j^*(e_i)= x_j \)
Resulta entonoces , para todo \( x \in Ker\; e_j^*\) :
    \(e_j^*(x) = 0 \Leftrightarrow x_j = 0 \Leftrightarrow Ker \; e_j^* = [e_1 ,..., e_{j-1}, e_{j+1}, ... , e_n] \)
Si consideramos ahora que j se mueve entre p+1 y n resulta, que la intersección de todos los \( Ker\; e_j^*\)
    \(\bigcap_{j=p+1}^n Ker \; e_j^* = [e_1 , ... , e_p] = S \)
Puesto que en cada \( Ker\; e_j^*\) faltara la componente xj y, por consiguiente , Los únicos vectores que estarán en la intersección serán los de la base \( \{e_i\} \quad (1 \leq i \leq p)\).
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES


tema escrito por: José Antonio Hervás