PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
espacios vectoriales, formas bilineales, matrices hermitianas

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Problemas de Álgebra superior

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 34

Consideremos la primera aplicación:

    \(\begin{array}{l} R: z \rightarrow R(z) \\ \\ (a+b\imath) \rightarrow a \end{array} \)

Esta aplicación es lineal puesto que se tiene:

    \( \begin{array}{l} R[\lambda(a+b\imath) + \mu(a'+b'\imath)] R[(\lambda a+\mu a')+ (\lambda b+\mu b') ]= \\ \\ \lambda a + \mu a' = \lambda R (a+b·\imath) + \mu R (a'+b'·\imath) \end{array}\)

Para calcular su matriz respecto de la base { 1, i} debemos obtener los transformados de una base de CR (por ejemplo {1,i}) con lo que la matriz de transformación vendrá dada por los vectores imagen puestos en columna:

    \(\begin{array}{c} R(1) = 1 \\ R(i) = 0 \end{array} \quad\Rightarrow \quad M_R = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right) \)
Consideremos ahora la segunda de las aplicaciones:
    \(\begin{array}{l} I : z \rightarrow I(z) \\ \\ (a+bi) \rightarrow b \end{array} \)
Esta aplicación es lineal puesto que se tiene:
    \(\begin{array}{l} I[\lambda(a + bi)\phi+ \mu(a' + b'i)] = I [(\lambda a + \mu a') + (\lambda b + \mu b')i ] \\ \\ (\lambda b + \mu b') = \lambda I(a + bi) + \mu I(a' + b'i) \end{array} \)
Para calcular la matriz respecto de la base {1,i} hacemos como en el caso anterior
    \(\begin{array}{c} R(1) = 0 \\ R(i) = i \end{array} \quad\Rightarrow \quad M_I = \left( \begin{array}{cc} 0& 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right) \)
Para la tercera aplicación se tiene:
    \(\begin{array}{l} C : z \rightarrow C(z) = \bar{z} \\ \\ (a + bi) \rightarrow (a -bi) \end{array} \)
y para ver si es lineal hacemos:
    \(\begin{array}{l} C[\lambda (a+bi) + \mu(a' + b'i)] = C[(\lambda a + \mu a')+ (\lambda b + \mu b')i] = \\ \\ (\lambda a + \mu a')- (\lambda b + \mu b')i = (\lambda a - \lambda bi) + (\mu a' - \mu b'i) =\\ \\ \lambda(a - bi) + \mu (a' - b'i)= \lambda C(a + bi) + \mu C(a' + b'i) \end{array} \)
La matriz de transformación vendra dada por
    \(\begin{array}{l} C(1) = 1 \\ \\ C(i) = -i \end{array} \Rightarrow M_C = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array} \right) \)
Por ultimo,para la cuarta aplicacin tenemos:
    \(\begin{array}{l}
    \varphi : z \rightarrow \varphi(z) = u·z \\
    \\
    (x+y·i) \rightarrow u(x + y·i)
    \end{array} \)
Veamos si es aplicación lineal
    \(\begin{array}{l} \varphi [\lambda(x+yi) + \mu (x' + y'i)] = u[\lambda(x+yi) + \mu (x' + y'i)] = \\ \\ \lambda u(x + yi) + \mu u(x' + y'i) = \lambda \varphi(x + yi) + \mu \varphi(x' + y'i) \end{array} \)
en este caso la matriz de transformación será:
    \(\begin{array}{l} \varphi (1) = u \\ \\ \varphi (i) = ui \end{array} \Rightarrow M = \left( \begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \\ \end{array} \right) \)
puesto que se tiene:
    \(\varphi (i) = u·i = (a + b·i)i = a·i - b = - b + a·i \)
De las anteriores aplicaciones las dos primeras no son biyectivas por que los determinantes de las matrices de transformación son nulos. La tercera ea es biyectiva puesto que \(M_C = -1 \neq 0\) y la cuarta también es biyectiva puesto que el determinante vale \(a^2 + b^2 \neq 0\), por ser \(b \neq 0\).
Vamos a ver ahora cuales de las anteriores aplicaciones son lineales cuando C es considerado coma espacio vectorial sabre si mismo.

1ª) No es aplicación lineal puesto que en este caso \(\lambda \; y \; \mu\) son números complejos y tomando, por ejemplo, \(\lambda = i \; ; \; \mu = 0\; ; \; z_1 = 1+i \), resulta:
    \(\begin{array}{l} R(\lambda z_1) = R [i(1+i)] = R(-1+i) = -1 \\ \\ \lambda R(z_1) = \lambda(1) = i \end{array} \)
2) Ocurre como en el caso anterior ya que podemos tomar los mismos valores y hacer:
    \(\begin{array}{l} I(\lambda z_1) = I [i(1+i)] = I(-1+i) = 1 \\ \\ \lambda I(z_1) = iI(1+i) = i \end{array} \)
Con las otras dos aplicaciones ocurre de forma semejante.
Calculemos ahora la base dual de fl {i, j}. Esta base será de la forma \(\{f_1, f_2\} \)
    \(\left. \begin{array}{l} f_1(1) = 1 \\ \\ f_1(i) =0 \\ \end{array} \right\} f_1(a+bi) = af_1(1) + bf_1(i) = a \)
Vemos que la aplicación f1 es semejante a R pues se tiene:
    \(\begin{array}{l} R : C_R \rightarrow C_R \qquad ; \qquad f_1 : C_R \rightarrow R \\ \\ (a+bi)\rightarrow a \qquad ; \qquad (a+bi)\rightarrow a \end{array} \)
La denotamos entonces por R' y decimos que R' esta inducida por R.
    \(\left.
    \begin{array}{l}
    f_2(1) = 0 \\
    \\
    f_2(i) = i \\
    \end{array}
    \right\} f_2(a+b·i) = a·f_2(1) + b·f_2(i) = b \)
Ocurre ahora que f2 es semejante a la aplicación definida anteriormente
    \(\begin{array}{l}
    I : C_R \rightarrow C_R \qquad ; \qquad f_2 : C_R \rightarrow R \\
    \\
    (a+b·i)\rightarrow b \qquad ; \qquad (a+b·i)\rightarrow b
    \end{array} \)
La denotamos entonces por I' y decimos que I' esta inducida por I. La base dual de {1,i} será, por tanto\(\{ R' , I'\} \in C_R^*\)
Analizamos, ahora el conjunto \(U = \{ z \in C_R / R(u,z) = 0\}\). Pcdemos ver que los elementos de este conjunto se obtienen por:
    \(R[\varphi(z)] = (R\varphi)(z) = 0 \Leftrightarrow U = Ker (R\varphi) \)
Puesto que R y \(\varphi\) son aplicaciones lineales también lo sera su composición;y como U es el núcleo de una aplicación lineal será subespacio vectorial.
El ortogonal de U sera, un subconjunto de la forma:
    \(U^\circ \{f \in C_R^* / f(z) = 0 \; , \; \forall \; z \in U \}\)
Puesto que \(f \in C_R^*\) se podra poner en la forma:
    \(f \in C_R^* \Rightarrow f = \alpha R' + \beta I' \)
y, por otro lado ,siendo \(z = x + y·i \in U\; ; \; R(u·z) = 0\), ,y tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} f(z) = \alpha R'(z) + \beta I'(z) = \alpha x + \beta y = 0 \\ \\ R[(a+bi)(x+yi)] = R[(ax - by) + (ay + bx)i] =\\ \\ ax - by = 0 \Rightarrow y = \frac{a}{b}x \end{array} \)
y sustituyendo el valor obtenido para y en la ecuación superior:
    \(\displaystyle \alpha x + \beta \frac{a}{b}x = 0 \Rightarrow \alpha + \beta \frac{a}{b} = 0 \Rightarrow \alpha b + \beta a = 0 \)
Asi pues, las coordenadas de f an de cumplir la anterior relación para que f sea ortogonal a U.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES


tema escrito por: José Antonio Hervás