PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
espacios vectoriales, formas bilineales, matrices hermitianas

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Problemas de Álgebra superior

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 33

Para saber si son linealmente independientes aplicamos la definición de independencia lineal:

    \(\begin{array}{l}
    \alpha·\phi_a + \beta·\phi_b + \gamma·\phi_c = 0 \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow (\alpha·\phi_a + \beta·\phi_b + \gamma·\phi_c)[f(t)] = 0\; ; \; \forall f \in V
    \end{array} \)

Consideremos una base del espacio vectorial \(V : \{1, t, t^2\}\). Tenemos entonces:

    \(\begin{array}{l} (\alpha·\phi_a + \beta·\phi_b + \gamma·\phi_c)[1] = 0 = \alpha + \beta + \gamma\\ \\ (\alpha·\phi_a + \beta·\phi_b + \gamma·\phi_c)[t] = 0 = \alpha.a + \beta.b + \gamma·c\\ \\ (\alpha·\phi_a + \beta·\phi_b + \gamma·\phi_c)[t^2] = 0 = \alpha.a^2 + \beta.b^2 + \gamma·c^2 \end{array} \)
Con lo que obtenemos el sistema homogéneo que tendrá solución nula si el determinante es distinto de cero:
    \(\lambda = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ \end{array} \right|= (b-a)(c-a)(c-b) \neq 0 (por\; ser \;a\neq b\neq c) \)
Al ser el determinante no nulo, los escalares \(\alpha , \beta , \gamma\) son todos nulos, y por consiguiente el sistema es libre.
El determinante anterior se llama de Vandermonde y su valor es igual al producto de todas las diferencias obtenidas restando a,b,c... de todos los que le siguen.
Para encontrar la base dual de \(\{\phi_a,\phi_b,\phi_c\} \) sabemos que se ha de cumplir:
    \(\phi_j(f_i) = \delta_{ij} \)
Por lo tanto, podemos poner
    \(\begin{array}{l} \phi_a[f(a)] = 1 = m_1a^2 + m_2a + m_3 \\ \\ \phi_b[f(a)] = 0 = m_1b^2 + m_2b + m_3 \\ \\ \phi_c[f(a)] = 0 = m_1c^2 + m_2c + m_3 \end{array} \)
y resolviendo el sistema obenemos:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} m_1 = \frac{\left( \begin{array}{ccc} 1 & a & 1 \\ 0 & b & 1 \\ 0 & c & 1 \\ \end{array} \right) }{\lambda}\quad ; \quad m_2 = \frac{\left( \begin{array}{ccc} a^2 & 1 & 1 \\ b^2 & 0 & 1 \\ c^2 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) }{\lambda} \\  \\ m_3 = \frac{\left( \begin{array}{ccc} a^2 & a & 1 \\ b^2 & b & 0 \\ c^2 & c & 0 \\ \end{array} \right) }{\lambda} \end{array} \)
y sustituyendo \(\lambda\) por su valor:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} m_1 = - (b-a)(c-a) \quad ; \quad m_2 = \frac{b+c}{(b-a)(c-a)} \\  \\ m_3 = - \frac{b·c}{(b-a)(c-a)} \end{array}\)
Para el segundo y tercer vectores ontenemos los sistemas:
    \( \begin{array}{l} \phi_a[f(b)] = 0 = m'_1a^2 + m'_2a + m'_3 \\ \\ \phi_b[f(b)] = 1 = m'_1b^2 + m'_2b + m'_3 \\ \\ \phi_c[f(b)] = 0 = m'_1c^2 + m'_2c + m'_3 \end{array}\left | \begin{array}{c} \phi_a[f(c)] = 0 = m"_1a^2 + m"_2a + m"_3 \\ \\ \phi_b[f(c)] = 0 = m"_1b^2 + m"_2b + m"_3 \\ \\ \phi_c[f(c)] = 1 = m"_1c^2 + m"_2c + m"_3 \\ \end{array} \right. \)
que una vez resueltos nos dan los valores correspondientes de los vectores de la base dual de \(\{\phi_a,\phi_b,\phi_c\} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES


tema escrito por: José Antonio Hervás