PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
espacios vectoriales, formas bilineales, matrices hermitianas

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Problemas de Álgebra superior

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 32
Como la dimensión de \(R_3^*\) nos basta con probar que \(\{f_1, f_2, f_3\} \) son linealmente independientes. Para ello hacemos:
    \(\begin{array}{l} \lambda_1f_1(x,y,z) + \lambda_2f_2(x,y,z) +\lambda_3f_3(x,y,z) = 0 \Rightarrow \\ \\ \lambda_1(x+2y+x) + \lambda_2(2x+3y+3x) +\lambda_3(3x+7y+x) = 0 \end{array} \)

De aquí obtenemos el sistema:

    \( \begin{array}{l}
    \lambda_1 + 2\lambda_2 + 3\lambda_3 = 0 \\
    \\
    2\lambda_1 + 3\lambda_2 + 7\lambda_3 = 0 \\
    \\
    \lambda_1 + 3\lambda_2 + \lambda_3 = 0
    \end{array} \; \Rightarrow\; \left|
    \begin{array}{ccc}
    1 & 2 & 1 \\
    2 & 3 & 3 \\
    3 & 7 & 1 \\
    \end{array}
    \right| = 1 \neq 0
    \)

Puesto que el determinante de los coeficientes es distinto de 0,\(\{f_1, f_2, f_3\} \) es una base de \(R_3^*\).

Para encontrar la base dual de ella debemos considerar qur se ha de cumplir:

    \( f_j(v_i) = \delta_{ij}\)
Por lo tanto, podemos poner:
    \( \begin{array}{l}
    f_1(v_1) = 1 = x+2y+z \\
    \\
    f_2(v_1) = 0 = 2x+3y+3z \\
    \\
    f_3(v_1)= 0 = 3x + 7y + z
    \end{array} \left|
    \begin{array}{c}
    f_1(v_2) = 0 = x+2y+z \\
    \\
    f_2(v_2) = 1 = 2x+3y+3z \\
    \\
    f_3(v_2)= 0 = 3x + 7y + z \\
    \end{array}
    \right|\begin{array}{l}
    f_1(v_3) = 0 = x+2y+z \\
    \\
    f_2(v_2) = 0 = 2x+3y+3z \\
    \\
    f_3(v_3)= 1 = 3x + 7y + z
    \end{array}\)
de estos tres sistemas de ecuciones obtenemos tres vectores de la forma (x,y,z) que forman una base en R3

Los sistemas a resolver son de Cramer y se ha de considerar que para todos ellos el determinante sin el término independiente vale 1.

Las soluciones que se obtienen son:
    \(v_1 = (-18, 7, 5)\quad ; \quad v_2 = (5, -2, -1)\quad ; \quad v_3 = (3, -1, -1) \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES


tema escrito por: José Antonio Hervás