PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
espacios vectoriales, formas bilineales, matrices hermitianas

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Problemas de Álgebra superior

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 31
Para saber si forman una base de R3 nos vasta con probar que son linealmente independientes. Para ello hacemos:
    \(\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ \end{array} \right| = -3 \neq 0 \)

Luego forman una base de R3.

Para calcular su base dual ponemos los vectores a,b,c en función de una base canonica de R3 :

    \(a = e_1 + e_2 + e_3 \quad ; \quad b = e_1 - e_3 \quad ; \quad a = e_1 - e_2 \)

Tenemos entonces:

    \(\begin{array}{l} f_a(e_1+e_2+e_3) = 1 \\ \\ f_a(e_1-e_3) = 0 \\ \\ f_a(e_1-e_2) = 1 \end{array}\quad \left| \begin{array}{c} f_a(e_1)+ f_a(e_2)+f_a(e_3)= 1 \\ \\ f_a(e_1)-f_a(e_3)= 0 \\ \\ f_a(e_1)-f_a(e_2)= 0 \\ \end{array} \right|\begin{array}{l} 3f_a(e_1) = 1 ; f_a(e_1) = 1/3 \\ \\ \\ f_a(e_2) = 1/3 ; f_a(e_3) = 1/3 \\ \end{array} \)

Para los otros dos casos se hace de igual modo resultando las soluciones:

    \(\begin{array}{l} f_b(e_1)= 1/3\;; \; f_b(e_2) = 1/3 \;; \; f_b(e_3) = -2/3 \\ \\ f_c(e_1)= 1/3\;; \; f_c(e_2) = -2/3 \;; \; f_c(e_3) = 1/3 \end{array} \)
Que se obtienen a partir de los sistemas:
    \(\begin{array}{l} f_b(e_1+e_2+e_3) = 0 \\ \\ f_b(e_1-e_3) = 1 \\ \\ f_b(e_1-e_2) = 0 \end{array}\left| \begin{array}{c} f_b(e_1+e_2+e_3) = 0 \\ \\ f_b(e_1-e_3) = 0 \\ \\ f_b(e_1-e_2) = 1 \\ \end{array} \right. \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES


tema escrito por: José Antonio Hervás