PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
espacios vectoriales, formas bilineales, matrices hermitianas

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Problemas de Álgebra superior

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 30
En general, para cualquier par de matrices se tiene:
    \((A·B)^* = B^*·A^*\)

y en nuestro caso:

    \( (A^*·A)^* = (A)^*·(A^*)^*\Rightarrow A^*·A \) es hermitiana

Por otro lado, una forma hermitiana se expresa:

    \(\phi(x) = X'·\Omega·\bar{X} = det (X'·\Omega·\bar{X}) \)

Y como A*A es una matriz hermitiana estará asociada a una matriz hermitiana y podemos poner:

    \( \phi(x) = X'(A^*·A)\bar{X} = X'(\bar{A})'·A\bar{X}= (\bar{A}·X)'·A\bar{X} = (\bar{A}·X)'\overline{(\vec{A}·X)} \geq 0\)

Se entiende que este resultado es mayor o igual que 0 porque la matriz final consta de un solo elemento formado por sumandos positivos.

Respecto a los valores propios de A*A podemos decir que todos ellos son positivos y que existen n (distintos o confundidos).

Recíprocamente, H es una matriz hermitiana positiva si verifica:

    \(\exists \; P, unitaria \; t.q. \; P^{-1}·H·P = P^*·H·P = D \) (matriz diagonal)
Podemos hacer entonces:
    \(H = P·D·P^{-1} = P·D·P^* \)
donde la matriz D consta de n elementos positivos, es decir:
    \(D =\left(
    \begin{array}{ccc}
    \lambda_1 & \cdots & 0 \\
    0 & \ddots & 0 \\
    0 & 0 & \lambda_n \\
    \end{array}
    \right) \qquad \lambda_i \geq 0 \; ; \; i= 1, \cdots , n \)
Si hacemos:
    \(\mu_i = + \sqrt{\lambda_i} \; ; \; i= 1, \cdots , n \)
resulta:
    \(D =\left(
    \begin{array}{ccc}
    \mu_1 & \cdots & 0 \\
    0 & \ddots & 0 \\
    0 & 0 & \mu_n \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{ccc}
    \mu_1 & \cdots & 0 \\
    0 & \ddots & 0 \\
    0 & 0 & \mu_n \\
    \end{array}
    \right) = M·M^* \; ; \; M = M^* \)
Y finalmente:
    \(H = P·D·P^* = P·M·M^*·P^* = (PM)(PM)^* = A·A^* \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES


tema escrito por: José Antonio Hervás