PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
espacios vectoriales, formas bilineales, matrices hermitianas

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Problemas de Álgebra superior

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 29
Lo que hemos de demostrar es:
    \(Im \; v = (Ker \;v)^o \)

y tenemos:

    \( \begin{array}{l}
    x \in Im \; v \Rightarrow \exists \; z\;/\; v(z) = x \; ; \; v(z) = e(z) - u(z) = z - u(z) = x \\
    \\
    y \in Ker \; v \Rightarrow v(y) = 0 \Rightarrow v(y) = (e-u)(y) = y - u(y) = 0 \Rightarrow y = u(y)
    \end{array}\)

Pero, por definición de operador inverso, se cumple:

    \(T(x) = y \Rightarrow T^{-1}(y) = x \)

Y en nuestro caso:

    \(y = u(y) \Rightarrow u^{-1}(y) = y \)

Si desarrollamos el producto escalar de "x" e "y" tenemos:

    \(x·y = [z-u(z)]·y = z·y - u(z)·y = z·y - z·u^*(y) \)

Pero, al ser "u" unitario:

    \(x·y = z·y - z·u^*(y) = z·y - z·u^{-1}(y) = z·y - z·y = 0 \)
Puesto que "x" e "y" son ortogonales, podemos poner:
    \(Im v \subset (Ker \; v)^o\quad (1) \)
Por otro lado, según hemos visto en el problema anterior, tenemos:
    \(Dim(ker \; v)^o = Dim \; v - Dim (Ker \; v) = Dim (Im v) \quad (2) \)
y de (1) y (2) se deduce:
    \(Im \; v = (Ker \; v)^o \)
Como queríamos demostrar.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES


tema escrito por: José Antonio Hervás