PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
espacios vectoriales, formas bilineales, matrices hermitianas

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Problemas de Álgebra superior

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 28
Consideremos dos elementos "x" e "y" que pertenezcan a Im T* y Ker T respectivamente:
    \(\begin{array}{l}
    x \in Im \; T^* \Rightarrow \exists \; z \in V / T^*(z) = x \\
    \\
    y \in Ker \; T \Rightarrow T(y) = 0
    \end{array} \)

El producto escalar de estos elementos valdrá:

    \( x·y = T^*(z)·y = z·T(y) = 0 \)

Podemos decir entonces que los elementos de Im T* son ortogonales a los de Ker T , y en consecuencia:

    \( Im \; T^* \subset (Ker \; T)^o \)

En casos anteriores hemos visto que la dimensión de un subespacio más la dimensión de su ortogonal nos da la dimensión del espacio total. Según eso, para nuestro caso tenemos:

    \(\begin{array}{l}
    Dim V = Dim (ker T) + Dim (Ker T)^o \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow Dim (Ker T)^o = Dim V - Dim (ker T)
    \end{array}\)
Pero el segundo miembro de la expresión nos da la dimebsión de Im T , es decir :
    \(Dim (Ker\; T)^o = Dim (ker\; T) = r(T)\)

y teniendo en cuenta que el rango del operador T es igual al rango de su adjunto:

    \(r(T) = r(T^*) = Dim (Im\; T^*)\)

Con lo que finalmente, resulta:

    \(Dim (Ker \;T)^o = Dim (Im\; T^*)\)

y puesto que estamos considerando espacios de dimensión finita, estos dos últimos serán iguales.

EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES


tema escrito por: José Antonio Hervás