PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de álgebra superior. Formas bilineales

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Ejercicios de álgebra

Continuando con las cuestiones del ejercicio anterior, demostrar también que:

Si u es un operador normal y \(\lambda \; y \; \lambda'\) dos valores propios distintos, de u, entonces los subespacios propios \(V(\lambda) \; y \; V(\lambda')\) son ortogonales.

Si u es un operador normal y \(V(\lambda) \) es un subespacio propio de u, entonces \(V(\lambda)\) es invariante por \( u^* \; y \; [V(\lambda)]^o \) es invariante por u*

Respuesta al ejercicio 27

Para resolver este ejercicio hay que tener en cuenta el ejercicio anterior. Tenemos que demostrar entonces que \(V(\lambda) \neq V(\lambda')\) siendo \(\lambda \neq \lambda'\) .

Si los valores propios son distintos, por lo menos uno de ellos es distinto de cero. Supongamos que sea \(\lambda \neq 0\). Tenemos entonces:

    \(\begin{array}{l} x \in V(\lambda) \Rightarrow u(x) = \lambda x \\  \\ x' \in V(\lambda') \Rightarrow u(x') = \lambda' x' \end{array} \)

y multiplicando escalarmente:

    \(\displaystyle xx' = \frac{1}{\lambda}u(x)x' = \frac{1}{\lambda}[xu^*(x')] = \frac{1}{\lambda}x\lambda' x' = \frac{\lambda'}{\lambda}xx' \)

Y pasando todo a un mismo miembro:

    \(\displaystyle\left(1 - \frac{\lambda'}{\lambda}\right)x·x' = 0 \Rightarrow \lambda \neq \lambda' \Rightarrow x·x' = 0 \Rightarrow V(\lambda)\;y\; V(\lambda') \) son ortogonales
Segunda parte de este ejercicio. Hemos de demostrar que siendo "u" un operador normal y \(V(\lambda)\) un subespacio propio de "u", entonces \(V(\lambda)\; y \; [V(\lambda)]^*\) son invariantes por u*. Tenemos:
    \( \begin{array}{l}
    u[u^*(x)] = u^*[u(x)] = u^*(\lambda x) = \lambda u^*(x) \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow u^*(x) \in V(\lambda)\; ; \; V(\lambda) \quad u^*- \textrm{invariante}
    \end{array}
    \)
Veamos ahora si \([V(\lambda)]^o\) es invariante por u y u*. Sabemos que se verifica:
    \(x \in [V(\lambda)]^o \Rightarrow x·y = 0 \; ; \; \forall \; y \in V(\lambda) \)
y tenemos:
    \( \begin{array}{l} u(x)y = xu^*(y) = x\bar{\lambda} y = \lambda xy = 0 \Rightarrow u(x) \in [V(\lambda)]^o\\ \\ \Rightarrow [V(\lambda)]^o \; u-invatiante \\ \\ u^*(x)y = xu(y) = x\lambda y = \bar{\lambda} xy = 0 \Rightarrow u^*(x) \in [V(\lambda)]^o\\ \\ \Rightarrow [V(\lambda)]^o \; u^*-invatiante \end{array} \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás