PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
espacios vectoriales, formas bilineales, matrices hermitianas

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Problemas de Álgebra superior

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 27

Para resolver este ejercicio hay que tener en cuenta el ejercicio anterior. Tenemos que demostrar entonces que \(V(\lambda) \neq V(\lambda')\) siendo \(\lambda \neq \lambda'\) .

Si los valores propios son distintos, por lo menos uno de ellos es distinto de cero. Supongamos que sea \(\lambda \neq 0\). Tenemos entonces:

    \(\begin{array}{l} x \in V(\lambda) \Rightarrow u(x) = \lambda x \\  \\ x' \in V(\lambda') \Rightarrow u(x') = \lambda' x' \end{array} \)

y multiplicando escalarmente:

    \(\displaystyle xx' = \frac{1}{\lambda}u(x)x' = \frac{1}{\lambda}[xu^*(x')] = \frac{1}{\lambda}x\lambda' x' = \frac{\lambda'}{\lambda}xx' \)

Y pasando todo a un mismo miembro:

    \(\displaystyle\left(1 - \frac{\lambda'}{\lambda}\right)x·x' = 0 \Rightarrow \lambda \neq \lambda' \Rightarrow x·x' = 0 \Rightarrow V(\lambda)\;y\; V(\lambda') \) son ortogonales
Segunda parte de este ejercicio. Hemos de demostrar que siendo "u" un operador normal y \(V(\lambda)\) un subespacio propio de "u", entonces \(V(\lambda)\; y \; [V(\lambda)]^*\) son invariantes por u*. Tenemos:
    \( \begin{array}{l}
    u[u^*(x)] = u^*[u(x)] = u^*(\lambda x) = \lambda u^*(x) \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow u^*(x) \in V(\lambda)\; ; \; V(\lambda) \quad u^*- \textrm{invariante}
    \end{array}
    \)
Veamos ahora si \([V(\lambda)]^o\) es invariante por u y u*. Sabemos que se verifica:
    \(x \in [V(\lambda)]^o \Rightarrow x·y = 0 \; ; \; \forall \; y \in V(\lambda) \)
y tenemos:
    \( \begin{array}{l} u(x)y = xu^*(y) = x\bar{\lambda} y = \lambda xy = 0 \Rightarrow u(x) \in [V(\lambda)]^o\\ \\ \Rightarrow [V(\lambda)]^o \; u-invatiante \\ \\ u^*(x)y = xu(y) = x\lambda y = \bar{\lambda} xy = 0 \Rightarrow u^*(x) \in [V(\lambda)]^o\\ \\ \Rightarrow [V(\lambda)]^o \; u^*-invatiante \end{array} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES


tema escrito por: José Antonio Hervás