PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
espacios vectoriales, formas bilineales, matrices hermitianas

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Problemas de Álgebra superior

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 26
Para la primera parte tenemos que demostrar que se cumple:
    \(u·u^* = u^*·u \Leftrightarrow (u-\alpha I)^*(u-\alpha I) = (u-\alpha I)(u-\alpha I)^* \quad , \quad \forall \;\alpha \in C \)

Hacemos  entonces:

    \(\begin{array}{c} (u-\alpha I)^*(u-\alpha I) = (u^*-\bar{\alpha} I)(u-\alpha I) = u^*u - \alpha u^* - \bar{\alpha}u^* + |\alpha|^2I \\ \\ (u-\alpha I)(u-\alpha I)^* = (u-\alpha I)(u^* -\bar{\alpha} I) = uu^* - \alpha u^* - \bar{\alpha}u^* + |\alpha|^2I \end{array} \)

Por lo tanto, vemos que los productos realizados conmutan sii \(u·u^* = u^*·u\), como se quería demostrar.

Para la segunda parte vemos que si un operador es normal se verifica:

    \(\parallel u(x)\parallel^2 = \parallel u^*(x)\parallel^2\)

Puesto que tenemos:

    \( \begin{array}{l} \parallel u(x)\parallel^2 = u(x)u(x) = xu^*[u(x)] = xu[u^*(x)] = \\  \\ = u^*(x)u^*(x) = \parallel u^*(x)\parallel^2 \end{array} \)
Y a partir de ahí podemos hacer:
    \(\begin{array}{l}
    x \in Ker \; u \Rightarrow u(x) = 0 \Rightarrow \parallel u(x)\parallel = 0 \Rightarrow \parallel u^*(x)\parallel = 0\; ; \\
     \\
    \; u^*(x) = 0\; ; \; x \in Ker\; u^*
    \end{array}\)
Tercera parte. Si \(\lambda\) es un valor propio de de u tenemos:
    \(u(x) = \lambdax \Rightarrow (u- \lambda I)(x) = 0\)
y en la primera parte hemos visto que u es normal sii \((u- \alpha I\) es normal \((\forall \; \alpha\) . Por lo tanto, aplicando el resultado de la primera y segunda parte, tenemos:
    \(V(\lambda) = Ker(u - \lambda I) = Ker(u - \lambda I)^* = Ker(u^* - \bar{\lambda} I) = V^*(\bar{\lambda}) \)
y finalmente resulta:
    \(\lambda\) valor propio de u
    \(Ker (u - \lambda I) \neq \{0\} \Leftrightarrow Ker (u^* - \bar{\lambda} I) \neq \{0\} \Leftrightarrow \bar{\lambda} \)
    valor propio de u*
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES


tema escrito por: José Antonio Hervás