PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
espacios vectoriales, formas bilineales, matrices hermitianas

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Problemas de Álgebra superior

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 25
La matriz asociada a la forma hermítica es:
    \(\Omega = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & -3i \\ 0 & 1 & 0 \\ 3i & 0 & -1 \\ \end{array} \right) \Rightarrow \Omega^t = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 3i \\ 0 & 1 & 0 \\ -3i & 0 & -1 \\ \end{array} \right) \)

Y sus valores propios asociados:

    \(|\Omega^t - \lambda I| = (1+\lambda)^2 - 9(1-\lambda) = 0 \Rightarrow (1-\lambda)(\lambda - 2)(\lambda + 4) = 0 \)

Los vectores propios asociados a cada auvalor serán. Para \(\lambda = 1\) :

    \(\begin{array}{l} \left( \begin{array}{ccc} -2 & 0 & 3i \\ 0 & 0 & 0 \\ -3i & 0 & -2 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) = 0\; \left\{ \begin{array}{c} -2x + 3iz = 0 \\ -3ix - 2z = 0 \\ \end{array} \right\}\; x = z = 0 \\  \\ v_1 = (0,1,0) = e_1 \end{array} \)

Para \(\lambda = 2\) :

    \(\begin{array}{l}
    \left( \begin{array}{ccc} -3 & 0 & 3i \\ 0 & -1 & 0 \\ -3i & 0 & -3 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) = 0\; \left\{ \begin{array}{c} -3x + 3i·z = 0 \\ -y = 0 \\ \end{array} \right\}\; x = i·z \\
     \\
    -y = 0 \; ; \; v_2 = (i,0,1)
    \end{array} \)
Para \(\lambda =-4\) :
    \(\begin{array}{l}
    \left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 3i \\ 0 & 5 & 0 \\ -3i & 0 & 3 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) = 0\; \left\{ \begin{array}{c} -3x + 3i·z = 0 \\ 5·y = 0 \\ \end{array} \right\}\; x = -i·z \; ; \;y = 0 \\
     \\
    v_3 = (-i,0,1)
    \end{array}\)
y normalizando:
    \(e_1 = (0, 1, 0)\; ; \; e_2 = (i/\sqrt{2},0,1/\sqrt{2})\; ; \;e_3 = (-i/\sqrt{2}, 0,1/\sqrt{2}) \)
Con todo ello la matriz de cambio será:
    \(\displaystyle P = \left(
    \begin{array}{ccc}
    0 & \frac{i}{\sqrt{2}} & -\frac{i}{\sqrt{2}} \\
    1 & 0 & 0 \\
    0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
    \end{array}
    \right)\Rightarrow P^{-1} = P^* = \left(
    \begin{array}{ccc}
    0 & 1 & 0 \\
    -\frac{i}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
    \frac{i}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
    \end{array}
    \right) \)
Y se tendrá:
    \(\phi(x) = |\breve{x}_1|^2 + 2|\breve{x}_2|^2 - 4|\breve{x}_3|^2 \)
que no es una forma definida positiva por tenerse \(sig \; \phi = (2,1)\)
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES


tema escrito por: José Antonio Hervás