PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
espacios vectoriales, formas bilineales, matrices hermitianas

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Problemas de Álgebra superior

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 24
La matriz asociada a la primera forma será:
    \(\Omega = \left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & -i & 0 \\
    i & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 0 \\
    \end{array}
    \right)\)

y sus valores propios vendran dados por:

    \( |\Omega - \lambda I| = 0 \; ; \; -\lambda (1-\lambda)^2 + \lambda = \lambda^2(2-\lambda ) = 0 \; ; \; \lambda_1 = \lambda_2 = 0 \; ; \; \lambda_3 = 2\)

Estos valores propios coincidirán con los de la matriz traspuesta que es con la que en realidad hay que operar.

Calculamos los vectores propios asociados a los distintos valores propios.

Para \(\lambda = 0\)

    \(\Omega = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -i & 0 \\ i & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) = 0 \; ; \; x + i·y = 0 \; ; \; x = -i·y \; ; \; v_1 = (-i,1,0) \)
El segundo vector propio también estará asociado a \(\lambda = 0\) pero será ortogonal a v1 , por tanto deberá cumplirse:
    \(\left. \begin{array}{c} x+i·y = 0\; , \; \textrm{ para estar asocido a } \lambda = 0 \\  \\ i·x+ y = 0\; , \; \textrm{ para ser ortogonal a } v_1 \\ \end{array} \right\}\quad x = y = 0 \; ; \; v_2 = (0,0,1) = e_2 \)
Por último, el vector v3 estará asociado a \(\lambda = 2\) y tendremos:
    \(\Omega = \left( \begin{array}{ccc} -1 & i & 0 \\ -i & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) = 0 \; ; \; \quad \left\{
    \begin{array}{c}
    -x + iy = 0 \\
    - 2·z = 0 \\
    \end{array}
    \right\}\quad v_3 = (i,1,0) \)
Los vectores unitarios que obtenemos serán:
    \(e_1 = (-i/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}, 0)\; ; \; e_2 = (0,0,1)\; ; \;e_3 = (i/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}, 0) \)
Con todo ello la matriz de cambio será:
    \(\displaystyle P = \left( \begin{array}{ccc} \frac{-i}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{i}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right) \quad \Rightarrow P^{-1}= P^* = \left( \begin{array}{ccc} \frac{-i}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \frac{i}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \end{array} \right) \)
Ya que se verificará:
    \(P^* \Omega^t P = \left(
    \begin{array}{ccc}
    0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 2 \\
    \end{array}
    \right) \Rightarrow \phi(x) = 2·x_3\bar{x}_3 = 2|x_3|^2 \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES


tema escrito por: José Antonio Hervás