Ejercicios de álgebra
Respuesta al ejercicio 23
La matriz asociada a la primera forma es:
\(\Omega = \left(
\begin{array}{cc}
0&1 & 1\\
1& 0 & 1\\
1& 1& 0\\
\end{array}
\right) \)
Para hallar la transformación ortogonal que diagonaliza
dicha forma debemos calcular los valores propios de la matriz
\(\Omega\).
\( |\Omega - \lambda I| = 0 \Rightarrow -\lambda^3 + 3.\lambda
+ 2 = 0 \left\{
\begin{array}{l}
\lambda_1 = \lambda_2 =-1 \\
\lambda_3 = 2 \\
\end{array}
\right.
\)
Los vectores propios asociados a estos autovalores serán.Para
\(\lambda_1 = -1\):
\( \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right) = 0 \; ; \; x+y+z = 0\; ; \; X = -y-z \; ; \; v_1 = (-1,1,0)
\)
El segundo vector propio deberá estar asociado a \(\lambda
= -1\) pero, a la vez, será ortogonal a v1 , es decir:
\( \left.
\begin{array}{c}
x+y+z = 0 \quad ; , \textrm{ por estar asociado a }\lambda = -1 \\
\\
-x + y = 0 \quad , \textrm{ para ser ortogonal a } v_1 \\
\end{array}
\right\} \quad v_2 = (1,1,-2)
\)
Por último, v3 estará asociado a \(\lambda
= 0\) será ortogonal a v1 y v2
:
\( \left( \begin{array}{ccc} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 &
1 & -2 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y
\\ z \\ \end{array} \right) = 0 \quad \left\{ \begin{array}{c}
-2x+y+z = 0 \\ x-2y+z = 0 \\ \end{array} \right.\left| \begin{array}{c}
y = x \\ z = 2y-x = x \\ \end{array} \right. \} v_3 = (1,1,1)
\)
Normalizando los tres vectores tenemos:
\( \displaystyle e_1 = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)
; e_2 = \left(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}}\right)
;
e_3 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)
\)
La matriz de cambio será entonces:
\( \displaystyle P = \left(
\begin{array}{ccc}
-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}}
\\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}}
\\
0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
\end{array}
\right) \)
y verificará:
\( \displaystyle P^t\Omega P = P^{-1}\Omega P = \left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
\end{array}
\right)
\Rightarrow \phi(x) = \breve{x}^2 - \breve{y}^2 + 2·\breve{z}^2
\)