PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
espacios vectoriales, formas bilineales, matrices hermitianas

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Problemas de Álgebra superior

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 23
La matriz asociada a la primera forma es:
    \(\Omega = \left(
    \begin{array}{cc}
    0&1 & 1\\
    1& 0 & 1\\
    1& 1& 0\\
    \end{array}
    \right) \)

Para hallar la transformación ortogonal que diagonaliza dicha forma debemos calcular los valores propios de la matriz \(\Omega\).

    \( |\Omega - \lambda I| = 0 \Rightarrow -\lambda^3 + 3.\lambda + 2 = 0 \left\{
    \begin{array}{l}
    \lambda_1 = \lambda_2 =-1 \\
    \lambda_3 = 2 \\
    \end{array}
    \right.
    \)

Los vectores propios asociados a estos autovalores serán.Para \(\lambda_1 = -1\):

    \( \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) = 0 \; ; \; x+y+z = 0\; ; \; X = -y-z \; ; \; v_1 = (-1,1,0) \)

El segundo vector propio deberá estar asociado a \(\lambda = -1\) pero, a la vez, será ortogonal a v1 , es decir:

    \( \left. \begin{array}{c} x+y+z = 0 \quad ; , \textrm{ por estar asociado a }\lambda = -1 \\ \\ -x + y = 0 \quad , \textrm{ para ser ortogonal a } v_1 \\ \end{array} \right\} \quad v_2 = (1,1,-2) \)

Por último, v3 estará asociado a \(\lambda = 0\) será ortogonal a v1 y v2 :

    \( \left( \begin{array}{ccc} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) = 0 \quad \left\{ \begin{array}{c} -2x+y+z = 0 \\ x-2y+z = 0 \\ \end{array} \right.\left| \begin{array}{c} y = x \\ z = 2y-x = x \\ \end{array} \right. \} v_3 = (1,1,1) \)
Normalizando los tres vectores tenemos:
    \( \displaystyle e_1 = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right) ; e_2 = \left(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}}\right) ;
    e_3 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \)
La matriz de cambio será entonces:
    \( \displaystyle P = \left(
    \begin{array}{ccc}
    -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
    \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
    0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
    \end{array}
    \right) \)
y verificará:
    \( \displaystyle P^t\Omega P = P^{-1}\Omega P = \left(
    \begin{array}{ccc}
    -1 & 0 & 0 \\
    0 & -1 & 0 \\
    0 & 0 & 2 \\
    \end{array}
    \right)
    \Rightarrow \phi(x) = \breve{x}^2 - \breve{y}^2 + 2·\breve{z}^2 \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES


tema escrito por: José Antonio Hervás