PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
espacios vectoriales, formas bilineales, matrices hermitianas

ver enunciado del ejercicio en

Problemas de Álgebra superior

Estás en : Matemáticas y Poesía > Ejercicios resueltos

 

Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 22
La matriz asociada a la primera forma es:
    \(\Omega = \left(
    \begin{array}{cc}
    1&4 \\
    4 & -5 \\
    \end{array}
    \right) \)

Para hallar la transformación ortogonal que diagonaliza dicha forma debemos calcular los valores propios de la matriz \(\Omega\).

    \( |\Omega - \lambda I| = 0 \Rightarrow \lambda^2 + 4.\lambda + 21 = 0 \left\{
    \begin{array}{l}
    \lambda_1 = 3 \\
    \lambda_2 = -7 \\
    \end{array}
    \right.
    \)

Los vectores propios asociados a estos autovalores serán.Para \(\lambda_1 = 3\):

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \left( \begin{array}{cc} -2& 4 \\ 4 & -8 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array} \right) = 0 \Rightarrow 2x + 4y = 0 \\ \\ x = 2y \; ; \; v_1 = (2,1) \; ; \; e_1 = \left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5} }\right) \end{array} \)

Para \(\lambda_2 = -7\):

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \left( \begin{array}{cc} 8 & 4 \\ 4 & 2 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array} \right) = 0 \Rightarrow 4x + 2y = 0 \\  \\ y = -2x \; ; \; v_2 = (1,-2) \; ; \; e_2 = \left(\frac{1}{\sqrt{5}},-\frac{2}{\sqrt{5} }\right) \end{array}\)

Por lo tanto, la matriz ortogonal de cambio será:

    \(\displaystyle P = \left(
    \begin{array}{cc}
    \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \\
    \frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} \\
    \end{array}
    \right) \)
Y se tendrá:
    \( P^t\Omega P = P^{-1}\Omega P = \left( \begin{array}{cc} 3& 0 \\ 0 & -7 \\ \end{array} \right) \Rightarrow \phi(x) =3· \breve{x}^2 - 7\breve{y}^2 \)
La forma estudiada no será definida positiva puesto que se tiene \(sig \;\phi = (1,1)\).
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES


tema escrito por: José Antonio Hervás