PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
espacios vectoriales, formas bilineales, matrices hermitianas

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Problemas de Álgebra superior

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 21
La matriz asociada a la primera forma es:
    \(\Omega = \left(
    \begin{array}{cc}
    2 & -3 \\
    -3 & 10 \\
    \end{array}
    \right) \)

Para hallar la transformación ortogonal que diagonaliza dicha forma debemos calcular los valores propios de la matriz \(\Omega\).

    \( |\Omega - \lambda I| = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 12.\lambda + 11 = 0 \left\{
    \begin{array}{l}
    \lambda_1 = 1 \\
    \lambda_2 = 11 \\
    \end{array}
    \right.
    \)

Los vectores propios asociados a estos autovalores serán.Para \(\lambda_1 = 1\):

    \(\displaystyle \begin{array}{c} \left( \begin{array}{cc} 1 & -3 \\ -3 & 9 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array} \right) = 0 \Rightarrow x - 3y = 0 \; ; \; x = 3y \\  \\ v_1 = (3,1) \; ; \; e_1 = \left(\frac{3}{\sqrt{10}},\frac{1}{\sqrt{10} }\right) \end{array} \)

Para \(\lambda_2 = 11\):

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \left( \begin{array}{cc} -9 & -3 \\ -3 & -1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array} \right) = 0 \Rightarrow 3x + y = 0 \; ; \; y = -3x \\  \\  \\ v_2 = (1,-3) \; ; \; e_2 = \left(\frac{1}{\sqrt{10}},-\frac{3}{\sqrt{10} }\right) \end{array} \)

Por lo tanto, la matriz ortogonal de cambio será:

    \(\displaystyle P = \left(
    \begin{array}{cc}
    \frac{3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{10}} \\
    \frac{1}{\sqrt{10}} & -\frac{3}{\sqrt{10}} \\
    \end{array}
    \right) \)
Y se tendrá:
    \( P^t\Omega P = P^{-1}\Omega P = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 11 \\ \end{array} \right) \Rightarrow \phi(x) = \breve{x}^2 + 11\breve{y}^2 \)
La forma estudiada es definida positiva puesto que se tiene \(sig \;\phi = (2,0)\).
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES


tema escrito por: José Antonio Hervás