PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de álgebra superior. Formas bilineales

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Ejercicios de álgebra

Sea M (C) el conjunto de las matrices de orden n sobre el cuerpo de los complejos. Demostrar que la apliación defida por:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} f : M_n(C) \times M_n(C) \rightarrow C \\ \\ f(A,B) = \frac{1}{n}·traza(A·B^*) \end{array}\)

Es una forma hertiana hermitiana.

Demostrar también que su forma hermíca asociada es definida positiva.

Respuesta al ejercicio 20
Para que la forma sea hermitiana deberá ser sesquilineal y simétrica. En el primer caso la aplicación ha de ser lineal en la primera componente y semilineal en la segunda. Tenemos entonces :
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    f(\lambda A_1+\mu A_2, B) = \frac{1}{n}·traza [(\lambda A_1+\mu A_2)·B^*] = \\ \\ \frac{1}{n}·traza[\lambda A_1B^* + \mu A_2B^*]= \\
    \\
    \frac{1}{n}·traza(\lambda A_1B^*)+\frac{1}{n}·traza(\mu A_1B^*) = \\ \\ \lambda·\frac{1}{n}·traza(A_1B^*) + \\
    \\
    \mu·\frac{1}{n}·traza(A_2B^*) = \lambda·f(A_1,B) + \mu·f(A_2,B)
    \end{array}\)

y, por tanto, f es lineal en la primera componente.

Para demostrar que es semilineal em la segunda componente nos basta con probar que satisface la simetría hermitiana:

    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    f(B,A) = \frac{1}{n}·traza (B·A^*) \Rightarrow \overline{f(B,A)} = \\ \\ \frac{1}{n}·\overline{traza (B·A^*)} = \frac{1}{n}·traza \overline{(B·A^*)} = \\
    \\
    = \frac{1}{n}·traza(\bar{B}·A^t) = \frac{1}{n}·traza (\bar{B}·A^t)^t = \\ \\ \frac{1}{n}·traza (A·B^*) = F(A,B)
    \end{array}\)

Nos queda entonces definir la forma hermítica asociada:

    \(\displaystyle f(A,A) = \frac{1}{n}·traza (A·A^*) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n c_{ii} \)
Y tenemos:
    \( \displaystyle \left.
    \begin{array}{l}
    (A·A^*)= (c_{ij}) \\
    \\
    A = (a_{ij})\; ;\; A^* = (b_{ij}) = (\bar{a}_{ji}) \\
    \end{array}
    \right\}\quad c_{ij}= \sum_{i=1}^na_{ik}b_{kj}= \sum_{i=1}^na_{ik}\bar{a}_{kj} \)

Con lo que podemos poner :

    \( \displaystyle c_{ii} = \sum_{i=1}^na_{ik}\bar{a}_{ik} = \sum_{i=1}^n |a_{ik}|^2 \Rightarrow F(A,A) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \sum_{i=1}^n |a_{ik}|^2 \geq 0 \)

En el caso de que esta expresión sea nula resulta :

    \( \displaystyle F(A,A) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \sum_{i=1}^n |a_{ik}|^2 = 0 \Rightarrow |a_{ik}| = 0 \Rightarrow a_{ik} = 0 \Rightarrow A = 0 \)
Por lo visto, tenemos que la aplicación estudiada es un producto escalar hermítico, como queríamos demostrar.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES
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tema escrito por: José Antonio Hervás