Ejercicios de álgebra

Demostrar que toda matriz cuadrada A, sobre C, puede escribirse en la forma :

\(A = H_1 + i·H_2\)

Donde H₁ y H₂ son matrices hermitianas.

Respuesta al ejercicio 19

Si H₁ y H₂ son hermitianas se cumplirá :

\(H_1 = H_1^*\quad ;\quad H_2 = H_2^*\)

Supongamos entonces que A se puece poner como indica el enunciado. Tendremos:

\(A = H_1 + i·H_2 \Rightarrow A^* = (H_1 + i·H_2)^* = H_1^* - i·H_2^* = H_1 -i·H_2\)

Y a partir de ahí:

\( \displaystyle \begin{array}{l}
A + A^* = 2·H_1 \\
\\
A- A^* = 2i·H_2
\end{array}\quad\left| \quad \begin{array}{l}
H_1 = \frac{1}{2}(A+A^*) \\
\\
H_2 = \frac{1}{2·i}(A - A^*)
\end{array}\right.
\)

Reciprocamente, si escribimos las matrices H₁ y H₂ según las expresiones anteriores, toda matriz A se expresará en la forma :

\( \displaystyle H_1 + i·H_2 = \frac{1}{2}(A+A^*)+ \frac{1}{2·i}·i(A-A^*) = A \)