PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de álgebra superior. Formas bilineales

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Ejercicios de álgebra

Supongamos que el conjunto de vectores \(\{u_1,\cdots , u_r\}\) es una base ortonormal de \( W\subset V\) siendo dim V = n . Sea \( E : V \rightarrow V\) la aplicación lineal definida por:
    \(E(v) = (vu_1)u_1 + \cdots + (vu_r)u_r\)

Demostrar que E es una proyección ortogonal de V sobre W.

Sea \(\{u_1,\cdots , u_r\}\) un subconjunto V, demostrar que \(\forall \; v \in V \) se verifica la desigualdad:

    \(\displaystyle \sum_i^r |vu_i|^2 \leq ||v||^2\)
Llamada desigualdad de Bessel.

Respuesta al ejercicio 17
El espacio vectorial V se puede poner :
    \(V = W \bigoplus W^o \; ; \; \forall v \in V : v = w + w^o \quad, \textrm{ siendo } w\in W ; w^o \in W^o \)

Por otro lado, podemos recordar que la proyección ortogonal de un vector \(v \in V\) es la aplicación que hace corresponder a v su componente en W es decir :

    \( P(v) = w \Rightarrow P(v) = P(\lambda_1u_1 + \cdots + \lambda_ru_r + w^o) = \lambda_1u_1 + \cdots + \lambda_ru_r \)

Además, en general, se tiene también :

\( v = \lambda_1u_1 + \cdots + \lambda_ru_r + w^o \)

Por lo tanto, multiplicando escalarmente v por uj se anula en todos los casos el producto por wo y, al ser \(\{u_i\}\) un conjunto de vectores ortogonales entre si, se tiene :
    \(v·u_j = \lambda_j·u_ju_j = \lambda_j \Rightarrow P(v) = (v·u_1)u_1 + \cdots + (v·u_r)u_r = E(v) \)

Como queríamos demostrar.

Para segunda parte tenemos :

    \(\parallel v \parallel^2 = \parallel w + w^o \parallel^2 = \parallel w \parallel^2+\parallel w^o \parallel^2 + 2\varphi (w,w^o) = \parallel w \parallel^2+\parallel w^o \parallel^2 \)
y podemos hacer :
    \( \parallel w \parallel^2 \leq \parallel v \parallel^2 \)

y, según hemos visto en el primer apartado :

    \( \displaystyle w = (v·u_1)u_1 + \cdots + (v·u_r)u_r = \sum_i^r (v·u_i)u_i \Rightarrow \sum_i^r |v·u_i|^2 \leq \parallel v \parallel^2 \)
Con lo que queda demostrada la desigualdad de Bessel.
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tema escrito por: José Antonio Hervás