PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de álgebra superior. Formas bilineales

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Ejercicios de álgebra

Sea E un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo K y f una forma bilineal simetrica cuya forma asociada es definida positiva.

Sea H un hiperplano de E y \(a\) un un vector no nulo de E, ortogonal a H. Demostrar que \(\forall \; x\in E\) se cumple :

    \(S_H(x) = x - 2af(x,a)[f(a,a)]^{-1} \)
Respuesta al ejercicio 16

Para resolver esta cuestión podemos recordar que un hiperplano de un espacio vectorial de dimensión n es un subespacio de dimensión n-1. Tenemos según eso:

    \( \left.
    \begin{array}{l}
    Dim \; H = n-1 \\
    \\
    Dim \; a = 1 \\
    \end{array}
    \right\}
    E = H \bigoplus [a]\quad ; \quad \forall x\in E : x = h + \lambda a \left\{ \begin{array}{l} h \in H \\ \\ \lambda \in R\\ \end{array} \right. \)

Según el problema anterior, tenemos:

    \(S_H(x) = h - \lambda a\)

y, por otro lado :

    \( \displaystyle \begin{array}{l} f(x,a) = f(h+\lambda a , a) = f(h,a) + \lambda f(a,a) = \lambda f(a,a)\Rightarrow \lambda = \frac{f(x,a)}{f(a,a)} \\ \\ h = x - \lambda a \end{array}\)
de donde, finalmente :
    \(S_H(x) = (x- \lambda a) - \lambda a = x - 2\lambda·a = x \lambda- 2a·f(x,a)[f(a,a)]^{-1}
    \)
Como se quera demostrar.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES
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tema escrito por: José Antonio Hervás