PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
espacios vectoriales, formas bilineales, matrices hermitianas

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Problemas de Álgebra superior

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 15
El espacio vectorial E se puede poner en la forma :
    \(E = F \bigoplus F^o \quad ; \quad \forall v \in E \; , \; v = x + x^o \left\{ \begin{array}{l} x \in F \\ x^o \in F^o \\ \end{array} \right. \)

Definimos entonces la aplicación SF como:

    \(\begin{array}{l} S_F : E \rightarrow E \\ \\ S_F(v) = x - x^o \end{array}\)

Esta aplicación es, evidentemente, lineal y verifica:

    \( \begin{array}{l}
    S_F(x) = x - 0 = x \qquad Si\; x \in F \\
    \\
    S_F(x) = 0 - x = - x \qquad Si\; x \in F^o
    \end{array} \)
Podemos recordar ahora que un operador ortogonal es aquel que verifica \(\parallel g(x) \parallel = \parallel x \parallel\), por consiguiente, tenemos:
    \( \begin{array}{l} \parallel S_F(v)\parallel^2 = f [S_F(v) , S_F(v)] = \\  \\ = f(x-x^o , x-x^o) = f(x,x) - 2·f(x,x^o) + f(x^o, x^o) \end{array}\)

y puesto que x y xo son ortogonales resultará f(x,xo) = 0 y podemos hacer:

    \( \begin{array}{c} \parallel S_F(v)\parallel^2 = f(x,x) - f(x^o,x^o) + 2·f(x , x^o) = \\  \\ = f(x+x^o , x+x^o) = f(v,v) = \parallel v\parallel ^2 \end{array} \)

y podemos decir que SF es ortogonal respecto de f.

Finalmente, tenemos:

    \( \begin{array}{l}
    (S_F·S_F)(v) = S_F[S_F(v)] = S_F(x-x^o) =\\ \\ = x - (-x^o) = x+x^o = v = I(v) \\
    \\
    S_F·S_F = I \Rightarrow S_F = S_F^{-1} \Rightarrow S_F \textrm{ biyección }\end{array} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES


tema escrito por: José Antonio Hervás