PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de álgebra superior. Formas bilineales

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Ejercicios de álgebra

Encontrar una matriz ortogonal cuya primera fila sea {1/3, 2/3, 1/3}.

Respuesta al ejercicio 14
Sabemos que para que una matriz cuadrada sea ortogonal, la suma de los cuadrados de los elementos de una línea debe ser igual a 1, por consiguiente haremos:
    \( \displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1 + 2 + 2}{9} = 1 \)

Así mismo, la suma de los productos de los elementos correspondientes de dos líneas distintas debe ser cero. Podemos popner entonces:

    \( \displaystyle(x,y,z)\left(\frac{1}{3} ,\frac{2}{3} , \frac{2}{3} \right) = 0 \Rightarrow \frac{1}{3}·x + \frac{2}{3}·y + \frac{2}{3}·z = 0 \)

y dando a "y" el valor 1 y a "x" el valor 2, resulta z = -2 , y normalizando:

    \( \displaystyle ||(x,y,z)|| = ||(2,1,-2)|| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3 \Rightarrow \left(\frac{2}{3} ,\frac{1}{3} , -\frac{2}{3} \right) \)
Para la tercera fila tenemos dos condiciones :
    \( \displaystyle \begin{array}{c} (x,y,z)\left(\frac{1}{3} ,\frac{2}{3} , \frac{2}{3} \right) = 0 \Rightarrow \frac{1}{3}·x + \frac{2}{3}·y + \frac{2}{3}·z = 0 \\
    \\
    (x,y,z)\left(\frac{2}{3} ,\frac{1}{3} , -\frac{2}{3} \right) = 0 \Rightarrow \frac{2}{3}·x + \frac{1}{3}·y - \frac{2}{3}·z = 0
    \end{array}\)

Y puesto que el sistema es de tres incógnitas y dos ecuaciones, se tiene:

    \(\displaystyle x = - y \quad ; \quad z = -\frac{1}{2}·y \)

Dando a Por lo ta"y" el valor 2, resulta x = -2 , z = -1, y normalizando:

    \(\displaystyle ||(x,y,z)|| = ||(-2,2,1)|| = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3 \Rightarrow \left(- \frac{2}{3} ,\frac{2}{3} , -\frac{1}{3} \right) \)
Puesto que ya conocemos todos los elementos, la matriz se puede poner:

    \(\displaystyle \left( \begin{array}{ccc}
    \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\
    - \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ \end{array}\right) \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás