PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
espacios vectoriales, formas bilineales, matrices hermitianas

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Problemas de Álgebra superior

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 13
Sabemos que todo vector de R se puede poner en la forma:
    \( R^3 = S \bigoplus S^o \quad ; \quad x \in R^3 \Rightarrow s + s' / s \in S \; , \; s'\in S^o \)

En el primer caso nos dicen que S = [(1,0,1)], por consiguiente tenemos:

    \( x = \lambda(1,0,1) + s' \Rightarrow (1,2,3) = \lambda(1,0,1) + s' \)
Para calcular \(\lambda\) multiplicamos escalarmente por el vector (1,0,1) que es ortogonal a s' y tenemos:
    \( (1,2,3)(1,0,1) = \lambda(1,0,1)(1,0,1)\Rightarrow 4 = 2·\lambda \Rightarrow \lambda = 2\)

De ahí que la proyección del vector (1,2,3) sobre [(1,0,1)] sea (2,0,2).

Para el segundo caso tenemos los mismos planteamientos y podemos poner:

    \( (0,0,0,5)= \alpha(1,1,0,0) + \beta(0,2,3,0) + \gamma(0,0,4,1) + s'\)
Y multiplicando escalarmente por (1,1,0,0) , (0,2,3,0) y (0,0,4,1) repectivamente, obtenemos el sistema:
    \(\begin{array}{l}
    0 = 2·\alpha + 2·\beta \\
    \\
    0 = 2·\alpha + 13·\beta + 12·\gamma \\
    \\
    5 = 12·\beta + 17·\gamma
    \end{array}
    \)
Que resuelto por el método de Cramer nos de los valores:
    \( \displaystyle \alpha = \frac{60}{43}\; ; \; \beta = - \frac{60}{43}\; ; \;\gamma = \frac{55}{43} \)
Con lo que la proyección ortogonal del vector (0,0,0,5) sobre la clausura de los vectors considerados será:
    \( \displaystyle s = \frac{60}{43}(1,1,0,0) - \frac{60}{43}(0,2,3,0) + \frac{60}{43}(0,0,4,1)\)
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES


tema escrito por: José Antonio Hervás