PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
espacios vectoriales, formas bilineales, matrices hermitianas

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Problemas de Álgebra superior

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 12
Recordamos que el producto escalar en el espacio M2 (R) se define por :
    \( \varphi(E,E) = traza E^tE\)
Por lo tanto, para que el conjunto del enunciado sea una base ortonrmal se ha de cumplir:
    \( \{E_1, E_2, E_3, E_4\} \textrm{ base ortormal }\Leftrightarrow \; traza E_j^t·E_i = \delta_{ij} \)
Hacemos entonces :
    \(\begin{array}{l} \varphi (E_1,E_1) = traza E_1^tE_1 =\\ \\= traza \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\0 & 0 \\ \end{array} \right) = traza \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)= 1 \\ \\ \\ \varphi (E_1,E_2) = traza E_2^tE_1 =\\ \\= traza \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\0 & 0 \\ \end{array} \right) = traza \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)= 0 \end{array} \)

Y así sucesivamente.

Para hallar una base del complemento ortogonal del subespacio de las matrices diagonales hacemos:

    \( \begin{array}{l} \left( \begin{array}{cc} a_{11} & 0 \\ 0 & a_{22} \\ \end{array} \right) \in V_1 \;; \;\left( \begin{array}{cc} a_{11} & 0 \\ 0 & a_{22} \\ \end{array} \right) = \\ \\ \\ a_{11}\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right) + a_{22}\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) = a_{11}E_1 + a_{22}E_4 \end{array} \)
De donde resulta :
    \(V_1 = [E_1, E_4] \Rightarrow V_1^o \Rightarrow [E_2, E_3] \Rightarrow B = \{E_2, E_3\} \)
De igual forma, para el complemento ortogonal de V2 tenemos:
    \( \begin{array}{l} \forall M \in V_2 : \left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \\ \end{array} \right)= a_{11}\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right) + a_{12}\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right) + a_{22}\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \\ \\ a_{11}E_1 + a_{12}E_5 + a_{22}E_4 \end{array} \)
De donde resulta:
    \( V_2 = \left[\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0\\ \end{array} \right), \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0\\ \end{array} \right), \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1\\ \end{array} \right), \right] \)
Y toda matriz de \(V_2^o\) debe cumplir:
    \(A \in V_2^o \Rightarrow A·E_i = 0 \; ; \; \forall E_i \in V_2 \Rightarrow traza\quad E_i^t·A = 0\)
Desarrollando estas condiciones tenemos:
    \(\begin{array}{l} \varphi(A,E_1) = traza \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & f \\ \end{array} \right)= traza \left( \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right) = 0 \Rightarrow a = 0 \\ \\ \varphi(A,E_5) = traza \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & f \\ \end{array} \right)= traza \left( \begin{array}{cc} c & f \\ a & b \\ \end{array} \right) = 0 \Rightarrow c+b = 0 \\ \\ \varphi(A,E_4) = traza \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & f \\ \end{array} \right)= traza \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ c & f \\ \end{array} \right) = 0 \Rightarrow f = 0 \\ \end{array}\)
Y, por consiguiente, toda matriz de \(V_2^o\) tendrá la forma:
    \(\left(
    \begin{array}{cc}
    0 & -b \\
    b & 0 \\
    \end{array}
    \right)\Rightarrow \textrm{ base de } V^o : \left(
    \begin{array}{cc}
    0 & -1 \\
    1 & 0 \\
    \end{array}
    \right)\)
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES


tema escrito por: José Antonio Hervás