PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
espacios vectoriales, formas bilineales, matrices hermitianas

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Problemas de Álgebra superior

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 11
Para que sea producto escalar debemos obtener una forma bilineal simétrica y una forma cuadrática que sea definida positiva. Tenemos entonces:
    \(\begin{array}{l} \varphi (A+B , C) = traza C^t(A+B) = traza(C^tA + C^tB) = \\ \\ \\ = traza C^tA + traza C^tB ) = \varphi(A,C) + \varphi(B,C) \end{array} \)
Y por otro lado :
    \(\begin{array}{l} \varphi(\lambda A, B) = traza B^t(\lambda A) = traza (\lambda B^t A) = \lambda·traza B^t A = \lambda\varphi(A,B) \\ \\ \varphi(A,B) = traza B^t A = traza (B^tA)^t = traza A^t B = \varphi(B,A) \end{array}\)
Se cumple, por tanto,que la aplicación definida es bilineal simétrica. Su forma cuadrática asociada será:
    \(\left.
    \begin{array}{l}
    \varphi(A,A) = traza A^tA \\ \\
    A = (a_{ij})\; ; \; A^t = (b_{ij})= (a_{ji}) \\ \end{array}
    \right\} \quad traza (b_{ik}·a_{kj})= traza (c_{ij}) = \sum_i^n c_{ii} \geq 0
    \)
El último resultado es cierto que se tiene:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \sum_i^n c{ii} = \sum_i^n\left(\sum_k^nb_{ik}·a_{ki}\right)= \sum_i^n\left(\sum_k^na_{ki}^2\right)\geq 0 \\ \\ \\ \sum_{i,k}^n a_{ki}^2 = 0 \Rightarrow a_{ki} = 0 \Leftrightarrow A = 0 \end{array} \)
Así pues, la aplicación estudiada es un producto escalar.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES


tema escrito por: José Antonio Hervás