PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
espacios vectoriales, formas bilineales, matrices hermitianas

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Problemas de Álgebra superior

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 10
En este problema la cuestión que nos plantean es obtener una base ortogonal a partir de \(1, t, t^2, t^3\) por el procedimiento de Smidt. Para ello hacemos:
    \(\lim f(x) = 0 \textrm{ cuando } x \rightarrow a \,, \, \forall a \;\textrm{ con } 0 \leq a \leq 1 \)
Para ello consideramos :
    \(\{e_1, e_2, e_3, e_4\} \rightarrow \{1, t, t^2, t^3\} \)
Y para el primer polinomio se tiene:
    \( v_1 = e_1 = 1 \)
Para el segundo :
    \(\displaystyle v_2 = e_2 + \lambda_2^1v_1 = t + \lambda_2^1\; ; \; v_2v_1 = 0 \Rightarrow \int_0^1 (t + \lambda_2^1)1dt = 0 \)
Con lo que podemos deducir:
    \(\displaystyle \frac{1}{2} + \lambda_2^1 = 0 \Rightarrow \lambda_2^1 = - \frac{1}{2} \Rightarrow v_2 = t - \frac{1}{2} \)
Para el tercero tenemos:
    \(\displaystyle v_3 = e_3 + \lambda_3^1v_1 + \lambda_3^2v_2 = t^2 + \lambda_3^1 + \lambda_3^2\left(t - \frac{1}{2}\right) \)
pero se debe cumplir:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    v_3·v_1 = 0 \Rightarrow e_3·v_1 + \lambda_3^1·v_1·v_1 = 0 \Rightarrow \lambda_3^1 = - \frac{1}{3} \\
    \\
    v_3·v_2 = 0 \Rightarrow e_3·v_2 + \lambda_3^2·v_2·v_2 = 0 \Rightarrow \lambda_3^2 = - 1
    \end{array} \)
con lo que v3 valdrá:
    \( \displaystyle v_3 = t^2 - \frac{1}{3} - t + \frac{1}{2} = t^2 - t + \frac{1}{6} \)
Finalmente, para v4 podemos poner:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} v_4 = e_4 + \lambda_4^1v_1 + \lambda_4^2v_2 + \lambda_4^3v_3= \\ \\ \\ = t^3 + \lambda_4^1 + \lambda_4^2\left(t - \frac{1}{2}\right) + \lambda_4^3\left(t^2 - t + \frac{1}{6}\right) \end{array} \)
Pero se ha verificar:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    v_4·v_1 = 0 \Rightarrow e_4·v_1 + \lambda_4^1·v_1·v_1 = 0 \Rightarrow \lambda_4^1 = - \frac{1}{4} \\
    \\
    v_4·v_2 = 0 \Rightarrow e_4·v_2 + \lambda_4^2·v_2·v_2 = 0 \Rightarrow \lambda_4^2 = - \frac{9}{10}\\
    \\
    v_4·v_3 = 0 \Rightarrow e_4·v_3 + \lambda_4^3·v_3·v_3 = 0 \Rightarrow \lambda_4^3 = - \frac{3}{164}
    \end{array} \)
De ese modo, podemos decir que el conjunto:
    \( \displaystyle \left[1, \left(t - \frac{1}{2}\right), \left(t^2 - t + \frac{1}{6}\right) , \left(t^3 - \frac{3}{164}t^2 + \frac{723}{820}t - \frac{87}{1640}\right) \right] \)
Es una base ortogonal del espacio vectorial de los polinomios de grado igual o menor que 3. Para obtener una base ortonormal se multiplicará cada vector por el inverso de su norma.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES


tema escrito por: José Antonio Hervás