PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de álgebra superior. Formas bilineales

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Ejercicios de álgebra

Sea V el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3, sobre R. Consideremos la forma bilineal:
    \(\displaystyle\varphi(P,Q) = \int_0^1 P(t)·Q(t)·dt \)

a) Demostrar que \(\varphi\) es simétrica y que \(\phi\) (forma cuadrática asociada) es definida positiva.

b) Encontrar el subespacio ortogonal a los vectores \(\{1-t , t^2+3t\}\)

Respuesta al ejercicio 9
Para ver que la forma es bilineal simétrica hacemos :
    \(\displaystyle \varphi(P,Q) = \int_0^1 P(t)Q(t)dt = \int_0^1 Q(t)P(t)dt = \varphi(Q,P) \)
Podemos entonces considerar la forma cuadrática asociada:
    \(\displaystyle \phi(P) = \int_0^1 P(t)·P(t)·dt = \int_0^1 [P(t)]^2·dt \quad ; \quad P(t) = 0 \Leftrightarrow \phi (P) = 0\)

La integral anterior es necesariamente positiva puesto que el cuadrado de todo número real es positivo.

Analizando las propiedades en \(\varphi(P,Q)\) podemos decir que su forma cuadrática asociada es un producto escalar.

Para el segundo apartado lo que hemos de considerar es que el producto escalar de los polinomios del enunciado de ser nulo con todos los polinomios de su subspacio ortogonal, es decir:

    \(\varphi(at^3 + bt^2 + ct + f\; , \; 1-t) = 0 \quad ; \quad \varphi(at^3 + bt^2 + ct + f\; , \; t^2+3t) = 0) \)
Desarrollando estas expresiones tenemos:
    \(\displaystyle\begin{array}{l}
    \int_0^1 (at^3 + bt^2 + ct + f)(1-t)dt = \\
    \\ \int_0^1 (at^3 + bt^2 + ct + f)dt - \\
    \\
    - \int_0^1 (at^4 + bt^3 + ct^2 + ft)dt = \\
    \\ \frac{1}{4}a + \frac{1}{3}b + \frac{1}{2}c + f - \frac{1}{5}a + \frac{1}{4}b + \\
    \\
    + \frac{1}{3}c + \frac{1}{2}f = \frac{1}{20}a + \frac{1}{12}b + \frac{1}{6}c + \frac{1}{2}f = 0
    \end{array}\)
E igualmente:
    \(\displaystyle\begin{array}{l}
    \int_0^1 (at^3 + bt^2 + ct + f)(t^2 + 3t)dt = \\
    \\ \int_0^1 (at^5 + bt^4 + ct^3 + ft^2)dt+ \\
    \\
    = \int_0^1 (3at^4 + 3bt^3 + 3ct^2 + 3ft)dt = \\
    \\
    \frac{1}{6}a + \frac{1}{5}b + \frac{1}{4}c + \frac{1}{3}f + \frac{3}{5}a + \frac{3}{4}b + c + \frac{3}{2}f = \\
    \\ \frac{23}{30}a + \frac{19}{20}b + \frac{5}{4}c + \frac{11}{6}f = 0
    \end{array}\)
El sistema se puede resolver en a y b quedando c y f como parámetros, con lo que podemos decir que subespacio ortogonal de los polinomios dados es de dimensión 2.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES
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tema escrito por: José Antonio Hervás