PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
espacios vectoriales, formas bilineales, matrices hermitianas

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Problemas de Álgebra superior

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 8

Para que las formas descritas en el enunciado sean productos escalares deben ser formas deben ser formas bilineales simétricas y tener asociada una forma cuadrática definida positiva.

Analizamos la primera. Es una forma bilineal simétrica puesto que su matriz asociada es simétrica. Hacemos entonces :

    \(\begin{array}{l}
    \phi(u) = x_1^2 - 4·x_1x_2 + 5·x_2^2 = \\
    \\
    \\
    = x_1^2 - 4·x_1x_2 + 4·x_2^2 + x_2^2 = (x_1 - 2·x_2)^2
    \end{array} \)
Por la descomposición de Gauss podemos observar que \(\phi(u) \geq 0 \; , \; \forall u \in R^2\), por tener la forma signatura (2,0). Además se verifica:
    \(r(\phi) = 2 = Dim\; R^2 \Rightarrow\quad\) no degenerada

Podemos decir con todo que \(\phi(u)\) es una forma cuadrática definida positiva ó producto escalar.

La segunda forma también es bilineal simétrica puesto que k no afecta para que se cumplan las condiciones. Podemos poner entonces:

    \(\begin{array}{l} \phi(u) = x_1^2 - 6x_1x_2 + kx_2^2 =\\ \\ = x_1^2 - 6x_1x_2 + 9x_2^2 - 9x_2^2 + kx_2^2 \\ \\ = (x_1 - 3x_2)^2 + (k - 9)x_2^2 \end{array}\)

Para que esta forma sea definida positiva el parmetro k debe ser estrictamente mayor que 9.

En el tercer caso podemos ver que se ha de cumplir b = c para que la forma sea bilineal simétrica. En ese caso tenemos:

    \(\begin{array}{l} \phi(u) = ax_1^2 + 2bx_1x_2 + dx_2^2 =\\ \\ = a\left(x_1^2 + 2\frac{b}{a}x_1x_2 + \frac{b^2}{a^2}x_2^2 - \frac{b^2}{a^2}x_2^2\right) + \\ \\ dx_2^2 = a\left(x_1 + \frac{b}{a}x_2\right)^2 + \left(d - \frac{b^2}{a}\right)x_2^2 \end{array}\)
Por lo tanto, para que la forma cuadrática \( \phi(u)\) sea definida positiva se ha de cumplir:
    \(a > 0 \quad ; \quad d - \frac{b^2}{a} > 0 \Rightarrow ad - b^2 >0\)
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES


tema escrito por: José Antonio Hervás