PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de álgebra superior. Formas bilineales

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Ejercicios de álgebra

Demostrar que en un espacio euclídeo se verica en general:
    1º) \(||u+v||^2 + ||u-v||^2 = 2(||u||^2 +||v||^2 ) \)

    2) \( ||u||-||v|| \leq ||u-v|| \)
Respuesta al ejercicio 7
Consideremos en primer caso:
    \(\begin{array}{l} ||u+v|| + ||u-v|| = \phi(u+v) + \phi(u-v) =\\ \\ =\phi(u) + 2\varphi(u,v) + \phi(v) + \phi(u) - 2\varphi (u,v) + \\ \\ + \phi(v) = 2\phi(u) + 2\phi(v) = 2\left(||u||^2 + ||v||^2\right) \end{array} \)
Para el segundo caso podemos hacer:
    \(\left|||u|| - ||v||\right|\leq ||u-v|| \left\{ \begin{array}{l} ||u||- ||v|| \leq ||u-v|| \Rightarrow ||u|| \leq ||u-v|| + ||v|| \\ \\ ||v||- ||u|| \leq ||v-u|| \Rightarrow ||v|| \leq ||v-u|| + ||u|| \\ \end{array} \right.\)
Puesto que el valor absoluto de un número y su opuesto coinciden, al igual que la norma de un vector y su opuesto.
Para demostrar las expresiones finales podemos hace :
    \(\begin{array}{l} ||u|| = ||u-v+v|| = \sqrt{\phi(u-v+v)}\leq \sqrt{\phi(u-v)} + \sqrt{\phi(v)}= ||u-v|| + ||v|| \\ \\ ||v|| = ||v-u+u|| = \sqrt{\phi(v-u+u)}\leq \sqrt{\phi(v-u)} + \sqrt{\phi(u)}= ||v-u|| + ||u|| \end{array}\)
Donde hemos aplicado la desigualdad de Minkwsky.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES
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tema escrito por: José Antonio Hervás