PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
espacios vectoriales, formas bilineales, matrices hermitianas

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Problemas de Álgebra superior

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 6
La condición que se de cumplir es:
    \(||u \lambda v|| \rightarrow \textrm{mínimo} \)
Consideremos entonces el producto escalar:
    \(||u \lambda v||^2 = \phi(u + \lambda v) = \varphi(u + \lambda v\, , \, u + \lambda v) = \phi(u) + \lambda^2·\phi(v) + 2·\lambda·\varphi(u,v) \)
Puesto que tenemos una función real podemos considerar derivadas. Derivando respecto al parámetro \(\lambda\) resulta, para el valor mínimo de la función estudiada:
    \(\displaystyle 2\lambda·\phi(v) + 2·\varphi(u,v) = 0 \Rightarrow \lambda = - \frac{\varphi(u,v)}{\phi(v) } \)
Por consiguiente, el vector que buscamos es :
    \(\displaystyle u = - \frac{\varphi(u,v)}{\phi(v) }·v \)
Veamos si es ortogonal:
    \(\displaystyle \varphi \left(v , u -\frac{\varphi(u,v)}{\phi(v) }·v \right) = \varphi(v,u) - \frac{\varphi(u,v)}{\phi(v) }·\phi(v) =\varphi(v,u) -\varphi(v,u) = 0 \)
Y se cumple lo pedido.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES


tema escrito por: José Antonio Hervás