Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 4

Comenzamos diciendo que \(W^\circ\) es el anulador de W que se define en la forma:
Sea V un espacio vectorial y sea S un subconjunto no vacío de V, se denomina anulador de S al conjunto

\(S^\circ = \{ f\in V^* \mid f(x) = 0, para cada \; x \in S\}\)

Vamos a demostrar la prmera expresión por doble inclusión. Sean \(x^* \in (U + W)^\circ\), podemos hacer :

\( X^* = 0 \qquad \), siendo \(z \in U + W\)

Podemos poner entonces:

\( \begin{array}{l}
x^* (u + w) = 0 \left\{
\begin{array}{l}
x^*(u) = 0 , \forall u \in U \Rightarrow x^* \in U^\circ \\
 \\
x^*(w) = 0 , \forall w \in W \Rightarrow x^* \in W^\circ \\
\end{array}
\right\} \quad x^* \in U^\circ \cap W^\circ \Rightarrow \\
\\
\Rightarrow(U + W)^\circ \subset U^\circ \cap W^\circ
\end{array} \)

Sea ahora \(x^* \in U^\circ \cap W^\circ\), tenemos :

\(\begin{array}{l} x^* \in U^\circ \cap W^\circ \left\{ \begin{array}{l} x^* \in U^\circ \Rightarrow x^*(u) = 0 \\  \\ x^* \in W^\circ \Rightarrow x^*(w) = 0 \\ \end{array} \right\}\quad x^*(u+w) = 0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x^* \in (U+W)^\circ \Rightarrow x^* \in (U+W)^\circ \Rightarrow U^\circ \cap W^\circ\subset (U+W)^\circ \end{array} \)

y, por la propiedad antisimétrica de la inclusión \((U+W)^\circ = U^\circ \cap W^\circ\).
Para demostrar la segunda expresión consideramos el resultado obenido en esta. Podemos poner:

\(( U^\circ + W^\circ)^\circ = ( U^\circ)^\circ \cap (W^\circ)^\circ \)

Ahora bien, si U y W son de dimensión finita se tiene \(( U^\circ)^\circ = U \quad y \quad (W^\circ)^\circ = W\) con lo que resulta:

\((U^\circ + W^\circ)^\circ = U\cap W \)

Aplicando de nuevo la condición de que U y W son de dimensión finita, podemos poner finalmente:

\([(U^\circ + W^\circ)^\circ]^\circ = U^\circ + W^\circ = (U\cap W)^\circ \)

Como queríamos demostrar.