PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
espacios vectoriales, formas bilineales, matrices hermitianas

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Problemas de Álgebra superior

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 3
Demostraremos que \(\mathfrak{R}\) es una relación de equivalencia:
Propiedad reflexiva :
    \(\varphi[Id(x)] = \varphi(x) \Leftrightarrow \varphi \mathfrak{R} \varphi \)
Propiedad simétrica:
    \(\varphi \mathfrak{R} \psi \Rightarrow \exists u / \varphi[u(x)] = \psi(x) \Rightarrow \exists u^{-1}\; / \psi[u^{-1}(x)] = \varphi(x) \Rightarrow \psi \mathfrak{R} \varphi \)
Propiedad transitiva:
    \( \left. \begin{array}{l} \varphi \mathfrak{R} \psi \Rightarrow \varphi[u_1(x)] = \psi(x) \\ \\ \psi \mathfrak{R} \theta \Rightarrow \psi[u_2(x)] = \theta(x) \\ \end{array} \right\} \theta(x) = \psi[u_2(x)] = \varphi{u_1[u_2(x)]} = \varphi[u_1·u_2(x)] \)

Y puesto que existe la aplicación que verifica la condición : \(\varphi \mathfrak{R} \theta\)

Para demostrar la segunda parte tenemos:

    \( \varphi \mathfrak{R} \psi \Rightarrow \exists u \in Aut E / \varphi[u(x)] = \psi(x) \;, \; \forall x \in E \)
En ese caso la condición anterior se verificará para un vector de la forma (x+y) y (x-y) y podemos poner:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} f[u(x), u(y)] = \frac{1}{4}\left\{\varphi[u(x)+u(y)] -\varphi[u(x)-u(y)] \right\} = \\ \\ \\ = \frac{1}{4}[\psi(x+y)- \psi(x-y)] = g(x,y) \end{array} \)

Por último para demostrar la tercera parte vamos a demostrar primero que si \(\varphi\) está relacionado con \(\psi\) ambas formas cuadráticas tienen la misma signatura cuando dim E = n.

Hemos visto en la cuestión anterior que se verifica:

    \(\varphi \mathfrak{R} \psi \Rightarrow f[u(x), u(y)] = g(x,y) \)

Supongamos que \(B = \{e_1, \cdots , e_n\}\) es una base de E. Aplicamos entonces:

    \(g(e_i,e_j) = f[u(e_i), u(e_j)] \)
Por ser \(u \in Aut\; E \Rightarrow \{u(e_1), \cdots , u(e_n)\} = B' \) es una base de E y tendremos entonces que:
    \(A = M(\varphi, B) = M(\psi, B') = A' \)

Como se tiene que la matriz es la misma en ambos casos, se tendrá la misma signatura para ambas formas cuadráticas. Esto no significa que \(\varphi\;y\; \psi\) sean la misma forma si no que existen dos bases tales que las matrices asociadas a cada una de las formas son iguales.

Vamos a considerar ahora la implicación inversa, es decir, que si \(\varphi\;y\; \psi\) tienen la misma signatura entonces se cumple \(\varphi\;\mathfrak{R}\; \psi\).

Si \(\varphi\;y\; \psi\) tienen la misma signatura significa que las matrices que representan a las formas cuadráticas respectivas tienen el mismo número de elementos con signo positivo y negativo en la diagonal principal.

Tomamos dos bases B y B' con las siguientes características:

    \(B = \{e_1, \cdots , e_n\}\) base de vectores conjugados dos a dos para \(\psi\)

    \(B = \{e'_1, \cdots , e'_n\}\) base de vectores conjugados dos a dos para \(\varphi\)
Vamos a ordenar los elementos diagonales de las matrices de forma que los elementos que se correspondan sean del mismo signo o simuláneamente nulos. Podemos poner entonces:
    \(\left.
    \begin{array}{c}
    \psi (e_i) = \lambda_i \\
     \\
    \varphi (e'_i) = \lambda'_i \\
    \end{array}
    \right\}\Rightarrow \exists k_i \in R^+ \; /\; \lambda_i = k_i^2·\lambda'_i
    \)
Podemos decir ahora que el conjunto \(B" = \{k_1e'_1, \cdots ,k_ne'_n \}\) es una base de E y verifica:
    \(f(k_ie'_i, k_je'_j) = k_i·k_j·f(e'_i, e'_j) = \left\{ \begin{array}{l} 0\; , \; i \neq j \\ \\ k_i^2·\varphi(e'_i) = k_i^2·\lambda'_i = \lambda_i \\ \end{array} \right. \)
La matriz de la forma cuadrática \(\varphi\) en la bese B" será entonces :
    \(M(\varphi, B") = \left( \begin{array}{cccc} \lambda_1 & & & 0 \\ & \ddots & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \lambda_n \\ \end{array} \right) \)
Por otro lado; LA MATRIZ de la forma simétrica\(\psi\) en la base B será:
    \(g(e_i,e_j) = \left\{ \begin{array}{l} 0 \textrm{ Si } i \neq j \\ \\ \psi(e_i) = \lambda_i \textrm{ Si } i = j \\ \end{array} \right.\qquad \Rightarrow M(\psi, B) = \left( \begin{array}{cccc} \lambda_1 & & & 0 \\ & \ddots & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \lambda_n \\ \end{array} \right) \)
Como la matriz es la misma en los dos casos, tendremos:
    \(A = M(\varphi, B) = M(\psi, B') = A' \)
Definimos entonces una aplición lineal \(u(e'_i) = k_ie'_i\). Se demuestra fácilmente que esta aplicación es automorfismo y además se tiene:
    \(f[u(e'_i), u(e'_j)] = g(e_i, e'_j) \Leftrightarrow f[u(x), u(y)] = g(x, y) \)
Y esto es igual que decir que \(\varphi\;\mathfrak{R}\; \psi\) como se quería demostrar
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES


tema escrito por: José Antonio Hervás