PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de álgebra superior. Formas bilineales

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Ejercicios de álgebra

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo K, y f una forma bilineal simétrica sobre E. Sea, por otro lado,u, una aplicación de E en si y supongamos que la forma cuadrática \(\phi\) asiciada a f sea definida y se verica:
    \(\forall (x,y) \in E\times E \quad ; \quad f[u(x), u(y)] = f(x,y)\)
    1º) Demostrar que u es un endomorfismo de E.

    2º) Demostrar que es inyectivo.
Respuesta al ejercicio 2
Para que u sea endomorfismo se ha de verificar :
    \(\begin{array}{l} u(x+y) = u(x) + u(y) \Rightarrow u(x+y) - u(x) - u(y) = 0 \qquad (A) \\ u(\lambda x) = \lambda·u(x) \Rightarrow u(\lambda x) - \lambda·u(x)= 0 \qquad (B) \end{array} \)
Sabemos que la forma \(\phi\) es definida, por consiguiente se cumplirá :
    \(\phi(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \)
De ahí podemos ver que para demostrar (A) y (B) tenemos que demostrar que la imagen según \(\phi\) de los vectores representados en dichas ecuaciones es nula en ambos casos. Para ello tenemos:
    \(\begin{array}{l} \phi(x) = f(x,x) = f[u(x) , u(x)] = \phi[u(x)] \\ \\ \phi[u(x+y) - u(x) - u(y)] = f[u(x+y) - u(x) - u(y)\; , \; u(x+y) - u(x) - u(y)] = \\ \\ f[u(x+y), u(x,y)]- 2f[u(x+y), u(x)]- 2f[u(x+y), u(y)] + f[u(x),u(x)] + \\ \\ + f[u(y),u(y)]+ 2f[u(x),u(y)] = f(x+y, x+y)- 2f(x+y, x) - 2f(x+y, y) + \\ \\ + f(x,x)+ 2f(x,y) + + f(y,y) = f(x,x) + 2f(x,y) + f(y,y) - 2f(x,x) - 2f(x,y)- \\ \\ - 2f(x,y) - 2f(y,y) + f(x,x) + 2f(x,y) + f(y,y) = 0 \end{array} \)
Puesto que la imagen del vector considerado es cero, al ser \(\phi\) definida, se tendrá:
    \(u(x+y) - u(x) - u(y) = 0 \Rightarrow u(x+y) = u(x) + u(y)\Rightarrow \quad\)

    u es aplicación lineal

De igual forma se demuestra que \(u(\lambda x) = \lambda·u(x)\).

Para demostrar que u es inyectiva haremos:

    \(\begin{array}{l}
    x \in E / u(x) = 0 \Rightarrow \phi[u(x)] = 0 \Leftrightarrow \\
    \\
    \\
    \Leftrightarrow \phi[u(x)] = f[u(x), u(x)] = f(x,x) = \phi(x) = 0 \Rightarrow x = 0
    \end{array}\)

Por ser \(\phi\) definida.

y puesto que \(u(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) la aplicación es inyectiva.

EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES
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tema escrito por: José Antonio Hervás