PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
espacios vectoriales, formas bilineales, matrices hermitianas

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Problemas de Álgebra superior

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 1
f no será degenerada si su rango vale 2. El rango de f es el rango común de las matrices asociadas a f en las distintas bases que se consideren. P odemos poner entonces :
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \phi (v) = a·x^2 + b·xy + c·y^2 \Leftrightarrow \\
    \\
    \\
    \Leftrightarrow M = \left(
    \begin{array}{cc}
    a & b/2 \\
    b/2 & c \\
    \end{array}
    \right)\Leftrightarrow |M| = ac - \frac{b^2}{4}\neq 0
    \end{array}
    \)
Y de ahí se deduce inmediatamente:
    \(4ac - b^2 \neq 0 \)
Por otro lado, al ser la forma definida positiva, para todo v se cumplirá :
    \(\phi(v) > 0 \quad ; \quad \phi(v) = 0 \Leftrightarrow v = 0 \)
Aplicando \(\phi\) al vector (1,0) obtenemos :
    \(\phi(1,0) = a > 0 \)
y aplicándolo a un vector culquiera de la forma (x,1) resulta:
    \(\phi(x,1) =a·x^2 + b·x + c > 0 \Rightarrow b^2 - 4·ac < 0\)

El signo > significa que la ecuación anterior no tiene ninguna raiz. Esto ocurrirá cuando el discriminante de la ecuación sea negativo, tal como hemos deducido.

Consideremos ahora la aplicación inversa de la segunda cuestión. Tenemos en este caso

    \(a > 0 \quad , \quad b^2 - 4ac < 0 \)
y se ha de cumplir:
    \(\phi(v) > 0 \quad , \quad \phi(v) = 0 \Leftrightarrow v = 0 \)
Calculamos el valor de \(\phi\) cuando y = 0 :
    \(\phi(x,y) = \phi(x,0) = ax^2 \left\{ \begin{array}{l} \phi(0,0) = 0 \\ \phi(x,0) > 0 \quad, \textrm{ cuando } x \neq 0 \\ \end{array} \right. \)
Calculamos ahora el valor de \(\phi\) cuando \(y \neq 0\) :
    \(y \neq 0 \; ; \; \phi(x,y) = \phi[y(x/y, 1)] = \phi[y(x', 1)] = y^2\phi(x', 1) \)
Tenemos que ver cuanto vale \(\phi(x',1)\) :
    \(\phi(x', 1) = ax'^2 + bx' + c \)
Y puesto que sabemos que b2 - 4·ac < 0 esto significa que no hay ninguna raiz y, por consiguiente, la parábola no cortará al eje de las x. Pero, además, tenemos la condición a > 0 con lo que la gráfica se moverá en todo momento en el cuadrante positivo. De ahí podemos deducir finalmente:
    \(\begin{array}{l}
    a·x^2 + b·x + c > 0 \Rightarrow \phi(x', 1) > 0 \Rightarrow \\
    \\
    \\
    \Rightarrow \phi(x,y) > 0 \qquad , \textrm{ cuando } y \neq 0
    \end{array} \)
Puesto que en todos los casos, salvo \(\phi(0,0) = 0\), se tiene \(\phi(x,y) > 0\) podemos decir que la forma estudiada es definida positiva.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES
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tema escrito por: José Antonio Hervás