Ejercicios de termodinámica
Demostrar que la entapía de una mezcla de dos componentes
puede escribirse en la forma:
\( H = N_1·f_1(T, P, x_1) + N_2·f_2(T, P, x_1)
\)
Existiendo entre f
1 y f
2 la siguiente relación a P y T constantes:
\( x_1·df_1 + x_2·df_2 = 0 \)
- Respuesta al ejercicio 59
La entalpía es una función homógenea de primer
orden respecto a las variables N
k, por lo tanto verificará
la ecuación de Euler:
\(\displaystyle H = \left(\frac{\partial H}{\partial N_1}\right)_{P,T,N_2}N_1
+ \left(\frac{\partial H}{\partial N_2}\right)_{P,T,N_1}N_2
\)
Sabemos también que las derivadas primeras de una función
homogénea de orden n son funciones homogéneas de
orden n-1; por consiguiente, las derivadas primeras de H, respecto
de N
1 y N
2 serán funciones homogéneas
de orden cero y cumplirán :
\(\displaystyle \frac{\partial H}{\partial N_1} = f_1(P, T,
N_1, N_2) = f_1(P, T, x_1, x_2) \)
\(\displaystyle \frac{\partial H}{\partial N_2} = f_2(P, T,
N_1, N_2) = f_2(P, T, x_1, x_2)\)
Para las fracciones molares se verifica:
Con lo que podemos poner:
\( \displaystyle\left.
\begin{array}{c}
\frac{\partial H}{\partial N_1} = f_1(P, T, x_1)
\\
\frac{\partial H}{\partial N_2} = f_2(P, T, x_2)
\\
\end{array}
\right\} \; H = N_1f_1(P, T, x_1) + N_2f_2(P, T, x_2)
\)
Para demostrar la segunda parte diferenciamos la relación
obtenida:
\(\displaystyle dH = N_1·df_1 + f_1·dN_1 + N_2·df_2
+ f_2·dN_2 \)
Por otro lado, derivando H respecto a N
1 y N
2
con P y T constantes:
\(\displaystyle dH = \frac{\partial H}{\partial N_1}\times dN_1
+ \frac{\partial H}{\partial N_2}\times dN_2 = f_1\times dN_1
+ f_2\times dN_2 \)
y restando miembro a miembro ambas expresiones:
\(\displaystyle N_1·df_1 + N_2·df_2 = 0 \Rightarrow
\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{N_1}{N_1+N_2} df_1 + \frac{N_2}{N_1+N_2}
df_2 = x_1df_1 + x_2df_2 = 0 \)