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ejercicios resueltos de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica

Se dobla en forma de L un tubo de vidrio abierto de sección constante. Una de las ramas se sumerge en un líquido de densidad \(\rho'\),permaneciendo la otra, de logitud L, en el aire y en posición horizontal. Se hace girar el tubo con velocidad angular constante w alrededor del eje de la rama vertical. Encontrar cual es la altura,y, alcanzada por el líquido en la rama vertical. Po es la presión atmosferica,\(\mathfrak{M}\), la masa molecular del aire.

- Respuesta al ejercicio 55


La fuerza centrifuga que se origina por el movimiento de rotación es:
    \(F = m·v^2/L = m·w^2.L \)
Podemos considerar que esta fuerza ejerce una presión a lo largo de la parte horizontal del tubo; por consiguiente, podemos poner:
    \(F = SP = - mw^2.L \Rightarrow P = - mw^2.L/S \)
donde ponemos el signo menos por disminuir la presión con la distancia.

Podemos poner entonces que la variación de la presión con la longitud será:
    \(\displaystyle dP = \left(\frac{\partial P}{\partial L}\right)dL = \frac{mw^2}{S}dL \qquad (1) \)
Por otro lado, de la ecuación de estado de un gas perfecto podemos poner:
    \(\displaystyle P·V = NR·\theta \Rightarrow P·SL = \frac{m}{\mathfrak{M}}R·\theta \Rightarrow m = \frac{P·S·L·\mathfrak{M}}{R·\theta} \)
Y sustituyendo en (1):
    \(\displaystyle dP = - \frac{P·S·L·\mathfrak{M}}{R·\theta}\times \frac{w^2}{S}·dL = - \frac{P·w^2\mathfrak{M}}{R·\theta}·L·dL \)
y separando variables:
    \(\displaystyle \frac{dP}{P} = - \frac{w^2\mathfrak{M}}{R·\theta}·L·dL \Rightarrow \int_{p_o}^p \frac{dP}{P} = - \frac{w^2\mathfrak{M}}{R·\theta} \int_0^L L·dL \)
Y finalmente, después de tomar antilogaritmos:
    \(\displaystyle \ln\left(\frac{P}{P_o}\right) = - \frac{w^2\mathfrak{M}}{2R·\theta}\times L^2 \Rightarrow P = P_o\times e^{- w^2L^2\mathfrak{M}/2R\theta} \)
Podemos considerar ahora que el peso de la columma de líquido que es levantado será :
    \(mg = V·\rho'·g = S·y·\rho'·g \)
Este peso equilibrará a la diferencia de presión ocasionada con motivo de la rotación del tubo. Podemos poner entonces:
    \(\displaystyle S·y·\rho'·g = (P_o - P)S \Rightarrow y·\rho'·g = P_o - P \Rightarrow y = \frac{P_o - P}{\rho'·g} \)
Y sustituyendo el valor de P:
    \(\displaystyle y = \frac{P_o\left(1-e^{- w^2L^2\mathfrak{M}/2R\theta} \right)}{\rho'·g} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE TERMODINÁMICA FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA
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tema escrito por: José Antonio Hervás