PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica - Respuesta al ejercicio 54

Cada una de los terminos anteriores se define en la forma:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} C_p = \left.\frac{\delta Q}{\delta T}\right|_P \quad ; \quad C_v = \left.\frac{\delta Q}{\delta T}\right|_V \quad ; \\  \\ \alpha = \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P \quad ; \quad k = \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T \end{array} \)
Por otro lado, segun el primer pricipio, tenemos:
    \(\delta Q = dU + PdV\)
y poniendo U en función de P y T:
    \(\delta Q = \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_TdP + \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_PdT + PdV \qquad (1) \)
Podemos considerar ahora la capacidad la capacidad calorífica a presión constante:
    \(\displaystyle C_p = \left.\frac{\delta Q}{dT}\right|_P = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_P + P \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_P + P·V·\alpha \)
Pero también se tiene:
    \(\displaystyle \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_P = \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_P \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P = \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_P V·\alpha \qquad (2) \)
y combinando ambas expresiones:
    \(\displaystyle C_p = \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_PV·\alpha + PV·\alpha \Rightarrow \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_P = \frac{C_p}{\alpha·V} - P \)
Según la expresión (1) la capacidad calorifica a volumen constante será:
    \(\displaystyle C_v = \left.\frac{\delta Q}{dT}\right|_V = \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V + \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_P \qquad (3) \)
Pero según un cálculo de derivadas desarrollado en matemáticas, se tiene :
    \(\displaystyle \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V = - \frac{(\partial V/\partial T)_P}{(\partial V/\partial P)_\theta} = \frac{\alpha}{k} \)
Y sustituyendo en (3) pero considerando (2):
    \(\displaystyle \begin{array}{l} C_v = \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_T (\alpha/k) + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_PV\alpha = \\  \\ = \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_T (\alpha/k) + \left(\frac{C_p}{\alphaV}- P \right)V\alpha \end{array} \)
Expresión de la que podemos despejar \((\partial U/\partial P)_T\) que vale:

    \(\displaystyle \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_T = \frac{C_v - [(C_p/\alpha V) - P]\alpha V}{\alpha/k} = \frac{C_v - C_p}{\alpha}k + PV·k \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE TERMODINÁMICA FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás